Question

Tres círculos de radio $1$ son tangentes externamente entre sí y tangentes internamente a un círculo mayor. ¿Cuál es el radio del círculo grande?

Three circles of radius $1$ are externally tangent to each other and internally tangent to a larger circle. What is the radius of the large circle?

$\dfrac{2 + \sqrt{6}}{3}$

$2$

$\dfrac{2 + 3\sqrt{2}}{3}$

$\dfrac{3 + 2\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Los centros de los tres círculos unitarios forman un triángulo equilátero de lado $2.$ Su centro es el centro del círculo grande.

La distancia del centro de un triángulo equilátero a un vértice es $\dfrac{\text{side}}{\sqrt3} = \dfrac{2}{\sqrt3} = \dfrac{2\sqrt3}{3}.$

Sumando el radio unitario, el radio grande es $1 + \dfrac{2\sqrt3}{3} = \dfrac{3 + 2\sqrt3}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The centers of the three unit circles form an equilateral triangle with side $2.$ Its center is the center of the large circle.

The distance from the center of an equilateral triangle to a vertex is $\dfrac{\text{side}}{\sqrt3} = \dfrac{2}{\sqrt3} = \dfrac{2\sqrt3}{3}.$

Adding the unit radius, the large radius is $1 + \dfrac{2\sqrt3}{3} = \dfrac{3 + 2\sqrt3}{3}.$

Thus, the correct answer is D.