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2021 AMC 10A Fall Problema 16

Intenta el Problema 16 del 2021 AMC 10A Fall a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 10A Fall, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

16.

Considere la función
f(x)=∣⌊x⌋∣−∣⌊1−x⌋∣f(x) = |\lfloor x \rfloor| - |\lfloor 1 - x \rfloor|
¿Respecto de cuál de las siguientes opciones es simétrica su gráfica? (Aquí ⌊x⌋\lfloor x \rfloor es el mayor entero que no excede a x.x.)
Consider the function
f(x)=∣⌊x⌋∣−∣⌊1−x⌋∣f(x) = |\lfloor x \rfloor| - |\lfloor 1 - x \rfloor|
Its graph is symmetric about which of the following? (Here ⌊x⌋\lfloor x \rfloor is the greatest integer not exceeding x.x.)
el eje yy
the yy-axis
la recta x=1x=1
the line x=1x=1
el origen
the origin
el punto (12,0)\left(\dfrac{1}{2},0\right)
the point (12,0)\left(\dfrac{1}{2},0\right)
el punto (1,0)(1,0)
the point (1,0)(1,0)
Respuesta: D
Conceptos:funciones piso y techosimetría (álgebra)
Nivel de dificultad: 1540
Pista pequeña:
Compara f(1−x)f(1-x) con f(x)f(x).
Compare f(1−x)f(1-x) with f(x)f(x)
Pista grande:
La relación es simetría central, no simetría axial.
The relation is point symmetry, not line symmetry
Solución:
Para todo real x,x, f(1−x)=∣⌊1−x⌋∣−∣⌊x⌋∣=−f(x). \begin{aligned} &f(1-x)=|\lfloor 1-x\rfloor| \\ &\quad {}-|\lfloor x\rfloor|=-f(x). \end{aligned}
De forma equivalente, reemplazar xx por 12+t\frac{1}{2}+t da f ⁣(12−t)=−f ⁣(12+t).f\!\left(\frac{1}{2}-t\right)=-f\!\left(\frac{1}{2}+t\right). Esto es simetría central respecto de (12,0).\left(\frac{1}{2},0\right).
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
For every real x,x, f(1−x)=∣⌊1−x⌋∣−∣⌊x⌋∣=−f(x). \begin{aligned} &f(1-x)=|\lfloor 1-x\rfloor| \\ &\quad {}-|\lfloor x\rfloor|=-f(x). \end{aligned}
Equivalently, replacing xx by 12+t\frac{1}{2}+t gives f ⁣(12−t)=−f ⁣(12+t).f\!\left(\frac{1}{2}-t\right)=-f\!\left(\frac{1}{2}+t\right). This is point symmetry about (12,0).\left(\frac{1}{2},0\right).
Thus, D is the correct answer.
Problema 15#15
Examen completo
Problema 17#17

El Problema 16 en otros años

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