Question

La gráfica de $f(x) = |\lfloor x \rfloor| - |\lfloor 1 - x \rfloor|$ ¿respecto de cuál de las siguientes es simétrica? (Aquí $\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero que no excede a $x.$ )

The graph of $f(x) = |\lfloor x \rfloor| - |\lfloor 1 - x \rfloor|$ is symmetric about which of the following? (Here $\lfloor x \rfloor$ is the greatest integer not exceeding $x.$ )

el eje $y$

the $y$ -axis

la recta $x=1$

the line $x=1$

el origen

the origin

el punto $\left(\dfrac{1}{2},0\right)$

the point $\left(\dfrac{1}{2},0\right)$

el punto $(1,0)$

the point $(1,0)$

Solución:

Para todo real $x$ , $\begin{aligned} &f(1-x)=|\lfloor 1-x\rfloor| \\ &\quad {}-|\lfloor x\rfloor|=-f(x). \end{aligned}$

De forma equivalente, reemplazar $x$ por $\frac{1}{2}+t$ da $f\!\left(\frac{1}{2}-t\right)=-f\!\left(\frac{1}{2}+t\right)$ . Esto es simetría central respecto de $\left(\frac{1}{2},0\right)$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

For every real $x$ , $\begin{aligned} &f(1-x)=|\lfloor 1-x\rfloor| \\ &\quad {}-|\lfloor x\rfloor|=-f(x). \end{aligned}$

Equivalently, replacing $x$ by $\frac{1}{2}+t$ gives $f\!\left(\frac{1}{2}-t\right)=-f\!\left(\frac{1}{2}+t\right)$ . This is point symmetry about $\left(\frac{1}{2},0\right)$ .

Thus, D is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años