Question

En un torneo de tenis, cada persona juega contra cada una de las demás una vez. En este torneo, hay el doble de jugadores diestros que de jugadores zurdos, pero los jugadores zurdos ganaron un $40\%$ más de partidos que los diestros. ¿Cuántos partidos se jugaron en total?

In a tennis tournament, each person plays every other person once. In this tournament, there are twice as many right-handed players as left-handed players, but left-handed players won $40\%$ more games than right-handed players. How many total games were played?

$15$

$36$

$45$

$48$

$66$

Solución:

Supongamos que hay $L$ zurdos y $2L$ diestros, así que $3L$ jugadores y $\binom{3L}{2}$ partidos. Cada partido tiene un ganador, y las victorias zurdas son $1.4$ veces las diestras, así que las victorias se reparten $7 : 5$ y el total debe ser múltiplo de $12$ . Los zurdos pueden ganar a lo sumo todos los partidos en los que participa al menos un zurdo, es decir $\binom{L}{2} + 2L^2$ . Por lo tanto $\frac{7}{12}\binom{3L}{2} \leq \binom{L}{2} + 2L^2,$ lo que da $L \leq 3$ . Para $L = 1$ y $L = 2$ , el total no es divisible entre $12$ . Para $L = 3$ , hay $\binom{9}{2} = 36$ partidos. Esto es alcanzable si los zurdos ganan los $18$ partidos entre grupos y los $3$ partidos entre ellos, mientras que los diestros ganan sus $15$ partidos internos. Los totales de victorias son $21$ y $15$ , así que la respuesta es $36$ . Por lo tanto, la respuesta es B.

Say there are $L$ left-handers and $2L$ right-handers, so $3L$ players and $\binom{3L}{2}$ games. Every game has one winner, and left wins are $1.4$ times right wins, so the wins split $7 : 5$ and the total must be a multiple of $12$ . Left-handers can win at most all games involving at least one left-hander, namely $\binom{L}{2} + 2L^2$ . Hence $\frac{7}{12}\binom{3L}{2} \leq \binom{L}{2} + 2L^2,$ which gives $L \leq 3$ . For $L = 1$ and $L = 2$ , the total is not divisible by $12$ . For $L = 3$ , there are $\binom{9}{2} = 36$ games. This is attainable if the left-handers win all $18$ cross-group games and all $3$ games among themselves, while the right-handers win their $15$ internal games. The win totals are $21$ and $15$ , so the answer is $36$ . Therefore, the answer is B.

2023 AMC 10A Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años