Question

¿Cuál de las siguientes es igual a

\sqrt{9-6\sqrt{2}}+\sqrt{9+6\sqrt{2}}

?

Which of the following is equal to

\sqrt{9-6\sqrt{2}}+\sqrt{9+6\sqrt{2}}?

3\sqrt2

2\sqrt6

\dfrac{7\sqrt2}{2}

3\sqrt3

6

Eleva al cuadrado toda la expresión.

Square the whole expression

El producto

(9-6\sqrt2)(9+6\sqrt2)

es pequeño.

The product

(9-6\sqrt2)(9+6\sqrt2)

is small

Como tenemos raíces cuadradas, podemos intentar transformar el interior de cada radical en un cuadrado perfecto.

Nota que podemos reescribir la expresión como

\begin{aligned} & \sqrt{6 - 6\sqrt2 + 3} \\ &{}+ \sqrt{6 + 6\sqrt2 + 3}. \end{aligned}

Factorizar y simplificar nos da

\sqrt{(\sqrt6 - \sqrt3)^2} + \sqrt{(\sqrt6 + \sqrt3)^2}

= \sqrt6 - \sqrt3 + \sqrt6 + \sqrt3 = 2\sqrt6.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Since we have square roots, we can try to change the inside of each radical to be a perfect square.

Note that we can rewrite the expression as

\begin{aligned} & \sqrt{6 - 6\sqrt2 + 3} \\ &{}+ \sqrt{6 + 6\sqrt2 + 3}. \end{aligned}

Factoring and simplifying gives us

\sqrt{(\sqrt6 - \sqrt3)^2} + \sqrt{(\sqrt6 + \sqrt3)^2}

= \sqrt6 - \sqrt3 + \sqrt6 + \sqrt3 = 2\sqrt6.

Thus, B is the correct answer.