Question

Una circunferencia de radio

1

es tangente a una circunferencia de radio

2.

Los lados de

\triangle ABC

son tangentes a las circunferencias como se muestra, y los lados

AB

y

AC

son congruentes. ¿Cuál es el área de

\triangle ABC

?

A circle of radius

1

is tangent to a circle of radius

2.

The sides of

\triangle ABC

are tangent to the circles as shown, and the sides

AB

and

AC

are congruent. What is the area of

\triangle ABC?

\dfrac{35}{2}

15\sqrt{2}

\dfrac{64}{3}

16\sqrt{2}

24

Respuesta: D

Conceptos:circunferencias tangentes semejanza triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Sean

O

y

O'

los centros; los triángulos rectángulos recortados a lo largo de

AC

son semejantes.

Let

O

and

O'

be the centers; the right triangles cut off along

AC

are similar

Pista grande:

Los centros están a

3

y

6

de

A,

y la base está

8

por debajo de

A

.

The centers lie

3

and

6

from

A,

and the base is

8

below

A

Solución:

Sean

O, O'

los centros de la circunferencia pequeña y la grande, y sea

D

el punto donde la circunferencia pequeña toca

AC.

Los triángulos rectángulos recortados a lo largo de

AC

son semejantes, así que

\frac{AO}{1} = \frac{AO + 3}{2},

lo que da

AO = 3

y

AO' = 6.

La longitud de la tangente es

AD = \sqrt{AO^2 - 1^2}

= \sqrt{3^2 - 1^2}

= 2\sqrt2.

Sea

F

el punto medio de

BC

; entonces

AF = AO' + 2 = 8.

Como

\triangle ADO \sim \triangle AFC,

obtenemos

\frac{FC}{1} = \frac{AF}{2\sqrt2} = \frac{8}{2\sqrt2} = 2\sqrt2.

Por lo tanto

BC = 4\sqrt2,

y el área es

\frac12 \cdot BC \cdot AF

= \frac12 \cdot 4\sqrt2 \cdot 8

= 16\sqrt2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

O, O'

be the centers of the small and large circles, and let

D

be the point where the small circle touches

AC.

The right triangles cut off along

AC

are similar, so

\frac{AO}{1} = \frac{AO + 3}{2},

giving

AO = 3

and

AO' = 6.

The tangent length is

AD = \sqrt{AO^2 - 1^2}

= \sqrt{3^2 - 1^2}

= 2\sqrt2.

Let

F

be the midpoint of

BC

; then

AF = AO' + 2 = 8.

Since

\triangle ADO \sim \triangle AFC,

we get

\frac{FC}{1} = \frac{AF}{2\sqrt2} = \frac{8}{2\sqrt2} = 2\sqrt2.

Thus

BC = 4\sqrt2,

and the area is

\frac12 \cdot BC \cdot AF

= \frac12 \cdot 4\sqrt2 \cdot 8

= 16\sqrt2.

Thus, the correct answer is D.

2006 AMC 10A Problema 16

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 16 en otros años