Question

Una circunferencia de radio $1$ es tangente a una circunferencia de radio $2.$ Los lados de $\triangle ABC$ son tangentes a las circunferencias como se muestra, y los lados $AB$ y $AC$ son congruentes. ¿Cuál es el área de $\triangle ABC$ ?

A circle of radius $1$ is tangent to a circle of radius $2.$ The sides of $\triangle ABC$ are tangent to the circles as shown, and the sides $AB$ and $AC$ are congruent. What is the area of $\triangle ABC?$

$\dfrac{35}{2}$

$15\sqrt{2}$

$\dfrac{64}{3}$

$16\sqrt{2}$

$24$

Solución:

Sean $O, O'$ los centros de la circunferencia pequeña y la grande, y sea $D$ el punto donde la circunferencia pequeña toca $AC.$ Los triángulos rectángulos recortados a lo largo de $AC$ son semejantes, así que $\frac{AO}{1} = \frac{AO + 3}{2},$ lo que da $AO = 3$ y $AO' = 6.$

La longitud de la tangente es $AD = \sqrt{AO^2 - 1^2}$ $= \sqrt{3^2 - 1^2}$ $= 2\sqrt2.$ Sea $F$ el punto medio de $BC$ ; entonces $AF = AO' + 2 = 8.$

Como $\triangle ADO \sim \triangle AFC,$ obtenemos $\frac{FC}{1} = \frac{AF}{2\sqrt2} = \frac{8}{2\sqrt2} = 2\sqrt2.$ Por lo tanto $BC = 4\sqrt2,$ y el área es $\frac12 \cdot BC \cdot AF$ $= \frac12 \cdot 4\sqrt2 \cdot 8$ $= 16\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $O, O'$ be the centers of the small and large circles, and let $D$ be the point where the small circle touches $AC.$ The right triangles cut off along $AC$ are similar, so $\frac{AO}{1} = \frac{AO + 3}{2},$ giving $AO = 3$ and $AO' = 6.$

The tangent length is $AD = \sqrt{AO^2 - 1^2}$ $= \sqrt{3^2 - 1^2}$ $= 2\sqrt2.$ Let $F$ be the midpoint of $BC$ ; then $AF = AO' + 2 = 8.$

Since $\triangle ADO \sim \triangle AFC,$ we get $\frac{FC}{1} = \frac{AF}{2\sqrt2} = \frac{8}{2\sqrt2} = 2\sqrt2.$ Thus $BC = 4\sqrt2,$ and the area is $\frac12 \cdot BC \cdot AF$ $= \frac12 \cdot 4\sqrt2 \cdot 8$ $= 16\sqrt2.$

Thus, the correct answer is D.

2006 AMC 10A Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años