Question

La figura de abajo muestra $13$ círculos de radio $1$ dentro de un círculo más grande. Todas las intersecciones ocurren en puntos de tangencia. ¿Cuál es el área de la región sombreada en la figura, dentro del círculo grande pero fuera de todos los círculos de radio $1$ ?

The figure below shows $13$ circles of radius $1$ within a larger circle. All the intersections occur at points of tangency. What is the area of the region, shaded in the figure, inside the larger circle but outside all the circles of radius $1?$

$4 \pi \sqrt{3}$

$7 \pi$

$\pi\left(3\sqrt{3} +2\right)$

$10 \pi \left(\sqrt{3} - 1\right)$

$\pi\left(\sqrt{3} + 6\right)$

Solución:

Sabemos que $\triangle ABC$ y $\triangle ABO$ son triángulos equiláteros.

Obtenemos que $OC = 2\sqrt{3}$ usando triángulos rectángulos especiales para hallar las alturas de los triángulos.

Por lo tanto, el radio del círculo grande es $2\sqrt{3} + 1,$ ya que hay un radio unitario adicional después de $\overline{OC}.$

El área del círculo grande es $(2\sqrt{3} + 1)^2\pi = (13 + 4\sqrt{3})\pi.$

El área de todos los círculos interiores es $13\pi.$

$(13 + 4\sqrt{3})\pi - 13\pi = 4\pi\sqrt{3}.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

We know $\triangle ABC$ and $\triangle ABO$ are equilateral triangles.

We get that $OC = 2\sqrt{3}$ using special right triangles to find the altitudes of the triangles.

The radius of the larger circle is therefore $2\sqrt{3} + 1,$ since there is the extra unit radius after $\overline{OC}.$

The area of the larger circle is $(2\sqrt{3} + 1)^2\pi = (13 + 4\sqrt{3})\pi.$

The area of all the inner circles is $13\pi.$

The area of the shaded region is $(13 + 4\sqrt{3})\pi - 13\pi = 4\pi\sqrt{3}.$

Thus, A is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años