Question

Un círculo ha sido dividido en $6$ sectores de $6$ tamaños diferentes. Luego $2$ de los sectores se pintan de rojo, $2$ de verde, y $2$ de azul de modo que no haya dos sectores vecinos pintados del mismo color. A continuación se muestra una de estas coloraciones.

¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

A circle has been divided into $6$ sectors of $6$ different sizes. Then $2$ of the sectors are painted red, $2$ painted green, and $2$ painted blue so that no two neighboring sectors are painted the same color. One such coloring is shown below.

How many different colorings are possible?

$12$

$16$

$18$

$24$

$28$

Solución:

Los seis sectores desiguales forman un ciclo fijo de $6$ posiciones distinguibles, así que queremos coloraciones propias con $3$ colores de un $6$ -ciclo que usen cada color exactamente dos veces. Un $6$ -ciclo tiene $2^6 + 2 = 66$ coloraciones propias con $3$ colores en total. De estas, $6$ usan solo dos colores (tipo $(3,3,0)$ ) y $36$ usan un color tres veces (tipo $(3,2,1)$ ). Eso deja $66 - 6 - 36 = 24.$ Por lo tanto, la respuesta es D.

The six unequal sectors form a fixed cycle of $6$ distinguishable positions, so we want proper $3$ -colorings of a $6$ -cycle that use each color exactly twice. A $6$ -cycle has $2^6 + 2 = 66$ proper $3$ -colorings altogether. Of these, $6$ use only two colors (type $(3,3,0)$ ) and $36$ use one color three times (type $(3,2,1)$ ). That leaves $66 - 6 - 36 = 24.$ Therefore, the answer is D.

2025 AMC 10B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años