Question

En el $\triangle ABC$ con ángulo recto en $C,$ el punto $D$ está en el interior de $\overline{AB}$ y el punto $E$ está en el interior de $\overline{BC}$ de modo que $AC=CD,$ $DE=EB,$ y la razón $AC:DE=4:3.$ ¿Cuál es la razón $AD:DB$ ?

In $\triangle ABC$ with a right angle at $C,$ point $D$ lies in the interior of $\overline{AB}$ and point $E$ lies in the interior of $\overline{BC}$ so that $AC=CD,$ $DE=EB,$ and the ratio $AC:DE=4:3.$ What is the ratio $AD:DB?$

$2:3$

$2:\sqrt{5}$

$1:1$

$3:\sqrt{5}$

$3:2$

Solución:

Sea $AC=4.$ De aquí obtenemos $CD=4,ED=3,BE=3.$

Nota que $\angle EDB = \angle EBD,$ $\angle CAD = \angle CDA,$ así que $\angle EDB + \angle CDA = 90 ^\circ.$ Por lo tanto, $\angle EDC = 90^\circ.$ Por el Teorema de Pitágoras, obtenemos $EC = \sqrt{3^2+4^2}$ $= \sqrt{25}$ $=5.$ Por lo tanto, $BC = 8.$ Esto da $\tan BAC = \frac 84 = 2.$

Ahora podemos obtener $BD = 2\cdot 3\cos B$ $= 6\sin A$ y $AD = 2\cdot 4\cos A$ $= 8\cos A .$ Por lo tanto, $\frac{AD}{BD} = \frac{8 \cos A}{6\sin A}$ $= \frac 4{3 \tan A}$ $=\frac 4{3\cdot 2}$ $= \frac 23.$

Así, la respuesta es A.

Let $AC=4.$ From this, we get $CD=4,ED=3,BE=3.$

Notice that $\angle EDB = \angle EBD,$ $\angle CAD = \angle CDA,$ so $\angle EDB + \angle CDA = 90 ^\circ.$ Thus, $\angle EDC = 90^\circ.$ From the Pythagorean Theorem, we get $EC = \sqrt{3^2+4^2}$ $= \sqrt{25}$ $=5.$ Therefore, $BC = 8.$ This makes $\tan BAC = \frac 84 = 2.$

Now, we can get $BD = 2\cdot 3\cos B$ $= 6\sin A$ and $AD = 2\cdot 4\cos A$ $= 8\cos A .$ Thus, $\frac{AD}{BD} = \frac{8 \cos A}{6\sin A}$ $= \frac 4{3 \tan A}$ $=\frac 4{3\cdot 2}$ $= \frac 23.$

Thus, the answer is A .

2019 AMC 10B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años