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2019 AMC 10B Problema 16

Intenta el Problema 16 del 2019 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2019 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

16.

En el △ABC\triangle ABC con ángulo recto en C,C, el punto DD está en el interior de AB‾\overline{AB} y el punto EE está en el interior de BC‾\overline{BC} de modo que AC=CD,AC=CD, DE=EB,DE=EB, y la razón AC:DE=4:3.AC:DE=4:3. ¿Cuál es la razón AD:DBAD:DB?
In △ABC\triangle ABC with a right angle at C,C, point DD lies in the interior of AB‾\overline{AB} and point EE lies in the interior of BC‾\overline{BC} so that AC=CD,AC=CD, DE=EB,DE=EB, and the ratio AC:DE=4:3.AC:DE=4:3. What is the ratio AD:DB?AD:DB?
2:3 2:3
2:5 2:\sqrt{5}
1:1 1:1
3:5 3:\sqrt{5}
3:2 3:2
Respuesta: A
Conceptos:persecución de ángulostriángulo isóscelestrigonometría
Nivel de dificultad: 1890
Pista pequeña:
Escala de modo que AC=CD=4AC=CD=4 y DE=EB=3DE=EB=3.
Scale so AC=CD=4AC=CD=4 and DE=EB=3DE=EB=3
Pista grande:
Usa los ángulos de los triángulos isósceles para mostrar que ∠EDC=90∘\angle EDC=90^\circ.
Use isosceles angles to show ∠EDC=90∘\angle EDC=90^\circ
Solución:
Escalemos la figura para que AC=CD=4AC=CD=4 y DE=EB=3DE=EB=3. Sea A=∠BACA=\angle BAC y B=∠ABCB=\angle ABC, de modo que A+B=90∘A+B=90^\circ.
Los triángulos isósceles ACDACD y DEBDEB dan ∠CDA=A\angle CDA=A y ∠EDB=B\angle EDB=B. Como DADA y DBDB son rayos opuestos, ∠CDE=180∘−A−B=90∘.\angle CDE=180^\circ-A-B=90^\circ. Por tanto, CE=42+32=5CE=\sqrt{4^2+3^2}=5, así que BC=CE+EB=8BC=CE+EB=8 y tan⁡A=BCAC=2\tan A=\frac{BC}{AC}=2.
Las bases de los dos triángulos isósceles miden AD=8cos⁡AAD=8\cos A y BD=6cos⁡B=6sin⁡ABD=6\cos B=6\sin A. Entonces ADBD=8cos⁡A6sin⁡A=43tan⁡A=23.\frac{AD}{BD}=\frac{8\cos A}{6\sin A}=\frac{4}{3\tan A}=\frac23.
Por lo tanto, la respuesta es A.
Scale the figure so that AC=CD=4AC=CD=4 and DE=EB=3DE=EB=3. Let A=∠BACA=\angle BAC and B=∠ABCB=\angle ABC, so A+B=90∘A+B=90^\circ.
The isosceles triangles ACDACD and DEBDEB give ∠CDA=A\angle CDA=A and ∠EDB=B\angle EDB=B. Because DADA and DBDB are opposite rays, ∠CDE=180∘−A−B=90∘.\angle CDE=180^\circ-A-B=90^\circ. Therefore CE=42+32=5CE=\sqrt{4^2+3^2}=5, so BC=CE+EB=8BC=CE+EB=8 and tan⁡A=BCAC=2\tan A=\frac{BC}{AC}=2.
The bases of the two isosceles triangles have lengths AD=8cos⁡AAD=8\cos A and BD=6cos⁡B=6sin⁡ABD=6\cos B=6\sin A. Hence ADBD=8cos⁡A6sin⁡A=43tan⁡A=23.\frac{AD}{BD}=\frac{8\cos A}{6\sin A}=\frac{4}{3\tan A}=\frac23.
Thus, the answer is A .
Problema 15#15
Examen completo
Problema 17#17

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