Question

Tres círculos de radio $2$ son mutuamente tangentes. ¿Cuál es el área total de los círculos y de la región limitada por ellos, como se muestra en la figura?

Three circles with radius $2$ are mutually tangent. What is the total area of the circles and the region bounded by them, as shown in the figure?

$10\pi+4\sqrt{3}$

$13\pi-\sqrt{3}$

$12\pi+\sqrt{3}$

$10\pi+9$

$13\pi$

Respuesta: A

Conceptos:circunferencias tangentes sector circular triángulo equilátero descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Conecta los tres centros de los círculos.

Connect the three circle centers

Pista grande:

El área buscada consta de tres sectores de $300^\circ$ más un triángulo equilátero.

The desired area is three $300^\circ$ sectors plus an equilateral triangle

Solución:

Conecta los centros de los tres círculos. Esto forma un triángulo equilátero de lado $4$ , con área $4\sqrt3$ .

La parte incluida de cada círculo es un sector de $300^\circ$ , cuya área es $\dfrac{300}{360}\pi\cdot2^2=\dfrac{10\pi}{3}$ .

El área total es $3\cdot\dfrac{10\pi}{3}+4\sqrt3=10\pi+4\sqrt3$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Connect the centers of the three circles. This forms an equilateral triangle of side $4$ , with area $4\sqrt3$ .

The included part of each circle is a $300^\circ$ sector, whose area is $\dfrac{300}{360}\pi\cdot2^2=\dfrac{10\pi}{3}$ .

The total area is $3\cdot\dfrac{10\pi}{3}+4\sqrt3=10\pi+4\sqrt3$ .

Thus, A is the correct answer.

2012 AMC 10B Problema 16

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 16 en otros años