Question

En un torneo de todos contra todos con 6 equipos, cada equipo juega un partido contra cada uno de los demás, y cada partido resulta en un equipo ganador y uno perdedor. Al final del torneo, los equipos se clasifican por el número de partidos ganados. ¿Cuál es el máximo número de equipos que podrían quedar empatados con la mayor cantidad de victorias al final del torneo?

In a round-robin tournament with 6 teams, each team plays one game against each other team, and each game results in one team winning and one team losing. At the end of the tournament, the teams are ranked by the number of games won. What is the maximum number of teams that could be tied for the most wins at the end of the tournament?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Solución:

Tendrían que repartirse $\binom 62 = 15$ victorias.

Esto significa que no puede haber un empate de $6$ equipos, ya que eso serían $2.5$ victorias por equipo.

Si hubiera un empate de $5$ equipos, cada uno podría tener $3$ victorias, lo cual es posible si un equipo pierde todos sus partidos y, entre los $5$ equipos ganadores, cada uno se reparte sus partidos.

Etiquetemos los equipos del $1$ al $5$ , y designemos que el equipo $6$ pierda todos sus partidos. Para lograr un empate de $5$ , hacemos que cada equipo $1\le x \le 5$ venza al equipo $x+1 \mod 5$ y al equipo $x+2 \mod 5$ , además del equipo $6$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

They would have to share $\binom 62 = 15$ wins.

This means we cannot have a $6$ way tie as that would be $2.5$ wins per team.

If we had a $5$ way tie, each team could have $3$ wins, which is possible if one team loses all of its games, and out of the $5$ winning teams, they each split their games.

If we label the teams from $1$ to $5,$ and designate team $6$ to lose all their games. To get a $5$ way tie, we could have each team $1\le x \le 5$ beat team $x+1 \mod 5$ and team $x+2 \mod 5,$ as well as team $6.$

Thus, the correct answer is D .

2012 AMC 10B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años