Question

El rectángulo $ABCD$ tiene $AB=3$ y $BC=4.$ El punto $E$ es el pie de la perpendicular desde $B$ a la diagonal $\overline{AC}.$ ¿Cuál es el área del $\triangle AED$ ?

Rectangle $ABCD$ has $AB=3$ and $BC=4.$ Point $E$ is the foot of the perpendicular from $B$ to diagonal $\overline{AC}.$ What is the area of $\triangle AED?$

$1$

$\dfrac{42}{25}$

$\dfrac{28}{15}$

$2$

$\dfrac{54}{25}$

Solución:

El área del $\triangle CDA$ es $\dfrac{3\cdot4}{2}=6$ . Como $E$ está sobre $AC$ , los triángulos $EAD$ y $CDA$ comparten la misma altura desde $D$ , así que $[EAD]=[CDA]\cdot \dfrac{AE}{AC}$ .

Por el teorema de Pitágoras, $AC=5$ . Además $\triangle ABE\sim \triangle ACB$ , así que $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac35$ , lo que da $AE=\dfrac95$ . Por lo tanto $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{9}{25}$ .

Por lo tanto $[EAD]=6\cdot \dfrac{9}{25}=\dfrac{54}{25}$ . Así, E es la respuesta correcta.

The area of $\triangle CDA$ is $\dfrac{3\cdot4}{2}=6$ . Since $E$ lies on $AC$ , triangles $EAD$ and $CDA$ share the same altitude from $D$ , so $[EAD]=[CDA]\cdot \dfrac{AE}{AC}$ .

By the Pythagorean Theorem, $AC=5$ . Also $\triangle ABE\sim \triangle ACB$ , so $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac35$ , giving $AE=\dfrac95$ . Thus $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{9}{25}$ .

Therefore $[EAD]=6\cdot \dfrac{9}{25}=\dfrac{54}{25}$ . Thus, E is the correct answer.

2017 AMC 10B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años