Question

¿Cuántos triángulos rectángulos tienen catetos de longitudes enteras $a$ y $b$ y una hipotenusa de longitud $b+1,$ donde $b\lt 100$ ?

How many right triangles have integer leg lengths $a$ and $b$ and a hypotenuse of length $b+1,$ where $b\lt 100?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Solución:

De $a^2+b^2=(b+1)^2$ obtenemos $a^2=2b+1,$ así que $a$ es impar y $a^2$ es un cuadrado perfecto impar.

Como $b\lt 100,$ necesitamos $a^2=2b+1\lt 201,$ y $a^2\ge 9$ para $b\ge 4.$ Los cuadrados impares $9,25,49,81,121,169$ dan $a=3,5,7,9,11,13,$ lo que son $6$ triángulos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

From $a^2+b^2=(b+1)^2$ we get $a^2=2b+1,$ so $a$ is odd and $a^2$ is an odd perfect square.

Since $b\lt 100,$ we need $a^2=2b+1\lt 201,$ and $a^2\ge 9$ for $b\ge 4.$ The odd squares $9,25,49,81,121,169$ give $a=3,5,7,9,11,13,$ which is $6$ triangles.

Thus, the correct answer is A.

2008 AMC 10B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años