Question

Un número par de circunferencias están anidadas, comenzando con radio $1$ y aumentando en $1$ cada vez, y todas comparten un punto común. Se sombrea la región entre una circunferencia y la siguiente sí y otra no, empezando con la región dentro de la circunferencia de radio $2$ pero fuera de la circunferencia de radio $1.$ Abajo se muestra un ejemplo con $8$ circunferencias. ¿Cuál es el menor número de circunferencias necesario para que el área sombreada total sea al menos $2023\pi$ ?

An even number of circles are nested, starting with a radius of $1$ and increasing by $1$ each time, all sharing a common point. The region between every other circle is shaded, starting with the region inside the circle of radius $2$ but outside the circle of radius $1.$ An example showing $8$ circles is displayed below. What is the least number of circles needed to make the total shaded area at least $2023\pi?$

$46$

$48$

$56$

$60$

$64$

Solución:

Una circunferencia de radio $r$ tiene área $\pi r^2.$ Así que el anillo sombreado entre radio $2k$ y $2k-1$ tiene área $\pi\big((2k)^2 - (2k-1)^2\big)$ $= (4k-1)\pi.$ Con $2n$ circunferencias el total sombreado es $\pi\sum_{k=1}^{n}(4k-1) = \pi(2n^2 + n).$ Queremos $2n^2 + n \ge 2023.$ En $n = 31$ es $1953,$ en $n = 32$ es $2080.$ Así que $n = 32,$ lo que significa $2n = 64$ circunferencias. Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

A circle of radius $r$ has area $\pi r^2.$ So the shaded ring between radius $2k$ and $2k-1$ has area $\pi\big((2k)^2 - (2k-1)^2\big)$ $= (4k-1)\pi.$ With $2n$ circles the shaded total is $\pi\sum_{k=1}^{n}(4k-1) = \pi(2n^2 + n).$ We want $2n^2 + n \ge 2023.$ At $n = 31$ it's $1953,$ at $n = 32$ it's $2080.$ So $n = 32,$ which means $2n = 64$ circles. Thus, E is the correct answer.

2023 AMC 10A Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años