Question

Sea $S_n$ la suma de los primeros $n$ términos de una progresión aritmética con diferencia común $2.$ El cociente $\dfrac{S_{3n}}{S_n}$ no depende de $n.$ ¿Cuánto vale $S_{20}$ ?

Let $S_n$ be the sum of the first $n$ term of an arithmetic sequence that has a common difference of $2.$ The quotient $\dfrac{S_{3n}}{S_n}$ does not depend on $n.$ What is $S_{20}?$

$340$

$360$

$380$

$400$

$420$

Solución:

Sea la sucesión $a_1, a_2, \cdots.$ Crea $a$ haciéndolo el término anterior a $a_1$ en la sucesión. Esto hace que $a_n = a+2n.$

Esto da $S_n = \sum_{i=1}^n (a+2i) =$ $a\cdot n + 2\sum_{i=1}^ni = an + n^2+n.$

Esto hace que $\dfrac{S_{3n}}{S_n} = \dfrac{3an + 9n^2+3n}{an + n^2+n} =$ $\dfrac{3a + 9n+3}{a + n+1}.$ Así, debemos encontrar $a$ tal que este valor sea constante.

Si nuestro valor dado es constante, entonces el valor dado menos $9$ es constante, así que $\dfrac{3a + 9n+3}{a + n+1}-9 = \dfrac{-6a-6}{a+n+1}$ es constante. A medida que $n$ crece, el numerador es constante y el denominador aumenta. Por lo tanto, si el número es constante, el numerador debe ser $0.$

Como $-6a-6 = 0,$ tenemos $a=-1.$

Con nuestra fórmula anterior, tenemos $S_{20} = -1(20)+20^2+20 = 400.$

Así, la respuesta es D.

Let the sequence be $a_1, a_2, \cdots.$ Create $a$ by making it the term before $a_1$ in the sequence. This would make $a_n = a+2n.$

This would make $S_n = \sum_{i=1}^n (a+2i) =$ $a\cdot n + 2\sum_{i=1}^ni = an + n^2+n.$

This makes $\dfrac{S_{3n}}{S_n} = \dfrac{3an + 9n^2+3n}{an + n^2+n} =$ $\dfrac{3a + 9n+3}{a + n+1}.$ Thus, we must find $a$ such that this value is constant.

If our given value is constant, than the given value minus $9$ is constant, so $\dfrac{3a + 9n+3}{a + n+1}-9 = \dfrac{-6a-6}{a+n+1}$ is constant. As $n$ increases, the numerator is constant and the denominator is increasing. Therefore, if the number is constant, the numerator must be $0.$

Since $-6a-6 = 0,$ we have $a=-1.$

With our formula from before, we have $S_{20} = -1(20)+20^2+20 = 400.$

Thus, the answer is D .

2022 AMC 10B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años