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2022 AMC 10B Problema 15

Intenta el Problema 15 del 2022 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2022 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

Sea SnS_n la suma de los primeros nn términos de una progresión aritmética con diferencia común 2.2. El cociente S3nSn\dfrac{S_{3n}}{S_n} no depende de n.n. ¿Cuánto vale S20S_{20}?
Let SnS_n be the sum of the first nn terms of an arithmetic sequence that has a common difference of 2.2. The quotient S3nSn\dfrac{S_{3n}}{S_n} does not depend on n.n. What is S20?S_{20}?
340 340
360 360
380 380
400 400
420 420
Respuesta: D
Conceptos:sucesión aritméticasumatoria
Nivel de dificultad: 1820
Pista pequeña:
Obliga a que el cociente sea independiente de n
Force the quotient to be independent of n
Pista grande:
Escribe la progresión aritmética en términos del primer término y la diferencia común.
Write the arithmetic sequence in terms of first term and common difference
Solución:
Escribamos el término nn-ésimo como a+2n,a+2n, de modo que el término anterior al primero sea a.a. Entonces, Sn=∑i=1n(a+2i)=n(a+n+1).\begin{aligned}S_n&=\sum_{i=1}^n(a+2i)\\&=n(a+n+1).\end{aligned}
Por tanto, S3nSn=3(a+3n+1)a+n+1=9−6(a+1)a+n+1. \begin{aligned} \frac{S_{3n}}{S_n}&=\frac{3(a+3n+1)}{a+n+1}\\ &=9-\frac{6(a+1)}{a+n+1}. \end{aligned}
Para que esta expresión sea independiente de n,n, el numerador 6(a+1)6(a+1) de la última fracción debe ser 0.0. Así, a=−1.a=-1.
Por consiguiente, S20=20(−1+20+1)=400.S_{20}=20(-1+20+1)=400.
Así, la respuesta es D.
Write the nnth term as a+2n,a+2n, so the term before the first term is a.a. Then Sn=∑i=1n(a+2i)=n(a+n+1).\begin{aligned}S_n&=\sum_{i=1}^n(a+2i)\\&=n(a+n+1).\end{aligned}
Hence S3nSn=3(a+3n+1)a+n+1=9−6(a+1)a+n+1. \begin{aligned} \frac{S_{3n}}{S_n}&=\frac{3(a+3n+1)}{a+n+1}\\ &=9-\frac{6(a+1)}{a+n+1}. \end{aligned}
For this expression to be independent of n,n, its numerator 6(a+1)6(a+1) in the final fraction must be 0.0. Thus a=−1.a=-1.
Therefore, S20=20(−1+20+1)=400.S_{20}=20(-1+20+1)=400.
Thus, the answer is D .
Problema 14#14
Examen completo
Problema 16#16

El Problema 15 en otros años

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