Question

¿Cuántos cubos positivos dividen a $3! \cdot 5! \cdot 7!$ ?

How many positive cubes divide $3! \cdot 5! \cdot 7!?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Solución:

Como producto de primos, $3! \cdot 5! \cdot 7! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7.$ Un divisor cúbico usa exponentes que son múltiplos de $3:$ el exponente de $2$ puede ser $0, 3,$ o $6$ ( $3$ opciones), el exponente de $3$ puede ser $0$ o $3$ ( $2$ opciones), y los exponentes de $5$ y $7$ deben ser $0.$ Eso da $3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 6$ cubos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

As a product of primes, $3! \cdot 5! \cdot 7! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7.$ A cube divisor uses exponents that are multiples of $3:$ the exponent of $2$ can be $0, 3,$ or $6$ ( $3$ choices), the exponent of $3$ can be $0$ or $3$ ( $2$ choices), and the exponents of $5$ and $7$ must be $0.$ That gives $3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 6$ cubes.

Thus, the correct answer is E.

2005 AMC 10A Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años