Question

Los enteros positivos $A,$ $B,$ $A - B,$ y $A + B$ son todos números primos. La suma de estos cuatro primos es

The positive integers $A,$ $B,$ $A - B,$ and $A + B$ are all prime numbers. The sum of these four primes is

par

even

divisible entre $3$

divisible by $3$

divisible entre $5$

divisible by $5$

divisible entre $7$

divisible by $7$

primo

prime

Solución:

Los números $A - B$ y $A + B$ difieren en $2B,$ así que tienen la misma paridad. Al ser primos, ambos deben ser impares, lo que obliga a que $A$ y $B$ tengan paridad opuesta.

Como $2$ es el único primo par, $B = 2.$ Entonces $A - 2,$ $A,$ $A + 2$ son tres primos que forman una progresión aritmética de números impares, que debe ser $3, 5, 7.$

Los cuatro primos son $2, 3, 5, 7,$ y su suma es $17,$ que es primo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The numbers $A - B$ and $A + B$ differ by $2B,$ so they have the same parity. Being prime, they must both be odd, which forces $A$ and $B$ to have opposite parity.

Since $2$ is the only even prime, $B = 2.$ Then $A - 2,$ $A,$ $A + 2$ are three primes forming an arithmetic progression of odd numbers, which must be $3, 5, 7.$

The four primes are $2, 3, 5, 7,$ and their sum is $17,$ which is prime.

Thus, the correct answer is E.

2002 AMC 10B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años