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2002 AMC 10B Problema 15

Intenta el Problema 15 del 2002 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2002 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

Los enteros positivos A,A, B,B, A−B,A - B, y A+BA + B son todos números primos. La suma de estos cuatro primos es
The positive integers A,A, B,B, A−B,A - B, and A+BA + B are all prime numbers. The sum of these four primes is
par
even
divisible entre 33
divisible by 33
divisible entre 55
divisible by 55
divisible entre 77
divisible by 77
primo
prime
Respuesta: E
Conceptos:primoparidad
Nivel de dificultad: 1480
Pista pequeña:
A−BA - B y A+BA + B tienen la misma paridad, y ambos son primos.
A−BA - B and A+BA + B have the same parity, and both are prime
Pista grande:
Esto obliga a B=2,B = 2, así que A−2,A - 2, A,A, y A+2A + 2 son tres primos seguidos.
This forces B=2,B = 2, so A−2,A - 2, A,A, and A+2A + 2 are three primes in a row
Solución:
Los números A−BA - B y A+BA + B difieren en 2B,2B, así que tienen la misma paridad. Como son primos, ambos deben ser impares, lo que obliga a que AA y BB tengan paridades opuestas.
Como 22 es el único primo par, se cumple A=2A=2 o B=2.B=2. El primer caso es imposible porque el primo positivo BB haría que A−B<0.A-B<0. Por tanto, B=2.B=2.
Ahora A−2,A - 2, A,A, y A+2A + 2 son tres primos. De cualesquiera tres enteros separados por 22, uno es divisible entre 3,3, así que ese número debe ser el propio 3.3. La única posibilidad positiva es 3,3, 5,5, 7.7.
Los cuatro primos son 2,2, 3,3, 5,5, 7,7, y su suma es 17,17, que es primo.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The numbers A−BA - B and A+BA + B differ by 2B,2B, so they have the same parity. Being prime, they must both be odd, which forces AA and BB to have opposite parity.
Since 22 is the only even prime, either A=2A=2 or B=2.B=2. The first case is impossible because the positive prime BB would make A−B<0.A-B<0. Hence B=2.B=2.
Now A−2,A - 2, A,A, and A+2A + 2 are three primes. One of any three integers spaced 22 apart is divisible by 3,3, so that member must itself be 3.3. The only positive possibility is 3,3, 5,5, 7.7.
The four primes are 2,2, 3,3, 5,5, 7,7, and their sum is 17,17, which is prime.
Thus, the correct answer is E.
Problema 14#14
Examen completo
Problema 16#16

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