Question

Sea

@

la operación “promediar con”:

a @ b = \frac{a+b}{2}.

¿Cuáles de las siguientes leyes distributivas se cumplen para todos los números

x,

y,

y

z

?

I.

x @ (y + z) = (x @ y) + (x @ z)

II.

x + (y @ z) = (x + y) @ (x + z)

III.

x @ (y @ z) = (x @ y) @ (x @ z)

Let

@

denote the “averaged with” operation:

a @ b = \frac{a+b}{2}.

Which of the following distributive laws hold for all numbers

x,

y,

and

z?

I.

x @ (y + z) = (x @ y) + (x @ z)

II.

x + (y @ z) = (x + y) @ (x + z)

III.

x @ (y @ z) = (x @ y) @ (x @ z)

Solo

\mathrm{I}

\mathrm{I}

only

Solo

\mathrm{II}

\mathrm{II}

only

Solo

\mathrm{III}

\mathrm{III}

only

Solo

\mathrm{I}

y

\mathrm{III}

\mathrm{I}

and

\mathrm{III}

only

Solo

\mathrm{II}

y

\mathrm{III}

\mathrm{II}

and

\mathrm{III}

only

Respuesta: E

Conceptos:operación personalizada propiedad distributiva

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Desarrolla cada lado usando

a@b=\frac{a+b}{2}

.

Expand each side using

a@b=\frac{a+b}{2}

Pista grande:

Comprueba cada una de I, II y III simbólicamente.

Test each of I, II, and III symbolically

Solución:

En I, el lado izquierdo es igual a

\dfrac{x+y+z}2

y el lado derecho es igual a

x+\dfrac{y+z}2,

así que no son iguales.

En II, ambos lados son iguales a

x+\dfrac{y+z}2,

así que la igualdad se cumple.

En III, ambos lados son iguales a

\dfrac{2x+y+z}4,

así que la igualdad también se cumple.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

In statement I, the left-hand side equals

\dfrac{x+y+z}2

and the right-hand side equals

x+\dfrac{y+z}2,

so they are not always equal.

In statement II, both sides equal

x+\dfrac{y+z}2,

so it holds.

In statement III, both sides equal

\dfrac{2x+y+z}4,

so it also holds.

Thus, the correct answer is E .

2011 AMC 10B Problema 15

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años