Question

Sea $@$ la operación “promediar con”: $a @ b = \frac{a+b}{2}$ . ¿Cuáles de las siguientes leyes distributivas se cumplen para todos los números $x, y$ y $z$ ?

I. $x @ (y + z) = (x @ y) + (x @ z)$

II. $x + (y @ z) = (x + y) @ (x + z)$

III. $x @ (y @ z) = (x @ y) @ (x @ z)$

Let $@$ denote the "averaged with" operation: $a @ b = \frac{a+b}{2}.$ Which of the following distributive laws hold for all numbers $x, y,$ and $z?$

I. $x @ (y + z) = (x @ y) + (x @ z)$

II. $x + (y @ z) = (x + y) @ (x + z)$

III. $x @ (y @ z) = (x @ y) @ (x @ z)$

Solo I

I only

Solo II

II only

Solo III

III only

Solo I y III

I and III only

Solo II y III

II and III only

Solución:

En I, el lado izquierdo es igual a $\dfrac{x+y+z}2$ y el lado derecho es igual a $x+ \dfrac{y+z}2$ , así que no son iguales.

En II, el lado izquierdo es igual a $x+ \dfrac{y+z}2$ y el lado derecho es igual a $x+ \dfrac{y+z}2$ , así que son iguales.

En III, el lado izquierdo es igual a $\dfrac{2x+y+z}4$ y el lado derecho es igual a $\dfrac{2x+y+z}4$ , así que son iguales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

In text 1, the left hand side equals $\dfrac{x+y+z}2$ and the right hand side equals $x+ \dfrac{y+z}2,$ so they aren't equal.

In text 2, the left hand side equals $x+ \dfrac{y+z}2$ and the right hand side equals $x+ \dfrac{y+z}2,$ so they are equal.

In text 3, the left hand side equals $\dfrac{2x+y+z}4$ and the right hand side equals $\dfrac{2x+y+z}4,$ so they are equal.

Thus, the correct answer is E .

2011 AMC 10B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años