Question

Sea $M$ el mayor entero tal que tanto $M + 1213$ como $M + 3773$ sean cuadrados perfectos. ¿Cuál es el dígito de las unidades de $M$ ?

Let $M$ be the greatest integer such that both $M + 1213$ and $M + 3773$ are perfect squares. What is the units digit of $M?$

$1$

$2$

$3$

$6$

$8$

Solución:

Plantea $M + 1213 = y^2$ , $M + 3773 = x^2.$ Restando, $x^2 - y^2 = 2560,$ así que $(x - y)(x + y) = 2560.$ Los dos factores tienen la misma paridad, y su producto es par, así que ambos son pares: escribe $x - y = 2s,$ $x + y = 2t,$ con $st = 640.$ Para hacer $M$ lo más grande posible queremos $y = t - s$ lo más grande posible, así que $s$ lo más pequeño posible. Toma $s = 1, t = 640,$ lo que da $y = 639.$ Entonces $M = 639^2 - 1213 = 407108,$ cuyo dígito de las unidades es $8.$ Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Set $M + 1213 = y^2$ and $M + 3773 = x^2.$ Subtracting, $x^2 - y^2 = 2560,$ so $(x - y)(x + y) = 2560.$ The two factors share a parity, and their product is even, so both are even: write $x - y = 2s,$ $x + y = 2t,$ with $st = 640.$ To make $M$ as large as possible we want $y = t - s$ as large as possible, so $s$ as small as possible. Take $s = 1, t = 640,$ giving $y = 639.$ Then $M = 639^2 - 1213 = 407108,$ whose units digit is $8.$ Thus, E is the correct answer.

2024 AMC 10A Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años