Question

En el rectángulo

ABCD,

DC = 2 \cdot CB

y los puntos

E

y

F

están sobre

\overline{AB}

de modo que

\overline{ED}

y

\overline{FD}

trisecan

\angle ADC

, como se muestra. ¿Cuál es la razón entre el área de

\triangle DEF

y el área del rectángulo

ABCD

?

In rectangle

ABCD,

DC = 2 \cdot CB

and points

E

and

F

lie on

\overline{AB}

so that

\overline{ED}

and

\overline{FD}

trisect

\angle ADC

as shown. What is the ratio of the area of

\triangle DEF

to the area of rectangle

ABCD?

\ \ \dfrac{\sqrt{3}}{6}

\ \dfrac{\sqrt{6}}{8}

\ \dfrac{3\sqrt{3}}{16}

\ \dfrac{1}{3}

\ \dfrac{\sqrt{2}}{4}

Respuesta: A

Conceptos:trigonometría razón de áreas rectángulo

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Usa los rayos de

30^\circ

y

60^\circ

desde

D

.

Use the

30^\circ

and

60^\circ

rays from

D

Pista grande:

Encuentra

EF

, y luego compara las áreas del triángulo y del rectángulo.

Find

EF

, then compare triangle and rectangle areas

Solución:

Sea

AD=h.

Como

DC=AB=2h,

el área del rectángulo

ABCD

es

2h^2.

Los rayos

DE

y

DF

forman ángulos de

60^\circ

y

30^\circ,

respectivamente, con

DC.

Por lo tanto,

AE=h\tan30^\circ=\dfrac{h}{\sqrt3}

y

AF=h\tan60^\circ=h\sqrt3.

Entonces

\begin{aligned}EF&=AF-AE\\&=h\sqrt3-\dfrac{h}{\sqrt3}\\&=\dfrac{2h\sqrt3}{3}.\end{aligned}

El área de

\triangle DEF

es

\dfrac12\cdot EF\cdot h=\dfrac{h^2\sqrt3}{3}.

La razón buscada es

\dfrac{\frac{h^2\sqrt3}{3}}{2h^2}=\dfrac{\sqrt3}{6}.

Así, la respuesta correcta es A.

Let

AD=h.

Since

DC=AB=2h,

the area of rectangle

ABCD

is

2h^2.

The rays

DE

and

DF

make angles of

60^\circ

and

30^\circ,

respectively, with

DC.

Therefore,

AE=h\tan30^\circ=\dfrac{h}{\sqrt3}

and

AF=h\tan60^\circ=h\sqrt3.

Hence

\begin{aligned}EF&=AF-AE\\&=h\sqrt3-\dfrac{h}{\sqrt3}\\&=\dfrac{2h\sqrt3}{3}.\end{aligned}

The area of

\triangle DEF

is

\dfrac12\cdot EF\cdot h=\dfrac{h^2\sqrt3}{3}.

The desired ratio is

\dfrac{\frac{h^2\sqrt3}{3}}{2h^2}=\dfrac{\sqrt3}{6}.

Thus, the correct answer is A.

2014 AMC 10B Problema 15

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años