Question

En el rectángulo $ABCD,$ $DC = 2 \cdot CB$ y los puntos $E$ y $F$ están sobre $\overline{AB}$ de modo que $\overline{ED}$ y $\overline{FD}$ trisecan $\angle ADC$ , como se muestra. ¿Cuál es la razón entre el área de $\triangle DEF$ y el área del rectángulo $ABCD$ ?

In rectangle $ABCD,$ $DC = 2 \cdot CB$ and points $E$ and $F$ lie on $\overline{AB}$ so that $\overline{ED}$ and $\overline{FD}$ trisect $\angle ADC$ as shown. What is the ratio of the area of $\triangle DEF$ to the area of rectangle $ABCD?$ \t\t

$\ \ \dfrac{\sqrt{3}}{6}$

$\ \dfrac{\sqrt{6}}{8}$

$\ \dfrac{3\sqrt{3}}{16}$

$\ \dfrac{1}{3}$

$\ \dfrac{\sqrt{2}}{4}$

Solución:

Sea $AD=h.$ Como $DC=AB=2h,$ el área del rectángulo $ABCD$ es $2h^2.$

Los rayos $DE$ y $DF$ forman ángulos de $60^\circ$ y $30^\circ,$ respectivamente, con $DC.$

Por lo tanto, $AE=h\tan30^\circ=\dfrac{h}{\sqrt3}$ y $AF=h\tan60^\circ=h\sqrt3.$

Entonces $\begin{aligned}EF&=AF-AE\\&=h\sqrt3-\dfrac{h}{\sqrt3}\\&=\dfrac{2h\sqrt3}{3}.\end{aligned}$ El área de $\triangle DEF$ es $\dfrac12\cdot EF\cdot h=\dfrac{h^2\sqrt3}{3}.$

La razón buscada es $\dfrac{h^2\sqrt3/3}{2h^2}=\dfrac{\sqrt3}{6}.$ Así, la respuesta correcta es A.

Let $AD=h.$ Since $DC=AB=2h,$ the area of rectangle $ABCD$ is $2h^2.$

The rays $DE$ and $DF$ make angles of $60^\circ$ and $30^\circ,$ respectively, with $DC.$

Therefore, $AE=h\tan30^\circ=\dfrac{h}{\sqrt3}$ and $AF=h\tan60^\circ=h\sqrt3.$

Hence $\begin{aligned}EF&=AF-AE\\&=h\sqrt3-\dfrac{h}{\sqrt3}\\&=\dfrac{2h\sqrt3}{3}.\end{aligned}$ The area of $\triangle DEF$ is $\dfrac12\cdot EF\cdot h=\dfrac{h^2\sqrt3}{3}.$

The desired ratio is $\dfrac{h^2\sqrt3/3}{2h^2}=\dfrac{\sqrt3}{6}.$ Thus, the correct answer is A.

2014 AMC 10B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años