Soluciones del 2014 AMC 10B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Leah tiene $13$ monedas, todas de un centavo y de cinco centavos. Si tuviera una moneda de cinco centavos más de las que tiene ahora, entonces tendría la misma cantidad de monedas de un centavo y de cinco centavos. En centavos, ¿cuánto valen las monedas de Leah?

Leah has $13$ coins, all of which are pennies and nickels. If she had one more nickel than she has now, then she would have the same number of pennies and nickels. In cents, how much are Leah’s coins worth?

$33$

$35$

$37$

$39$

$41$

Conceptos:ecuación lineal dinero

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Traduce la condición sobre la moneda de cinco centavos en una ecuación para las monedas de un centavo y de cinco centavos.

Translate the nickel condition into an equation for pennies and nickels

Pista grande:

Usa el total de $13$ monedas después de encontrar las dos cantidades.

Use the total of $13$ coins after finding the two counts

Solución:

Sea el número de monedas de un centavo igual a $p.$ Entonces el número de monedas de cinco centavos es $13-p$ y también $p-1,$ así que $13-p=p-1.$ Esto significa que tenemos $7$ monedas de un centavo y $6$ de cinco centavos.

Por lo tanto, el valor total en centavos es $7+6\cdot 5=37.$

Así, la respuesta correcta es C.

Let the number of pennies be $p.$ Then, the number of nickels is $13-p$ and $p-1,$ so $13-p=p-1.$ This means we have $7$ pennies and $6$ nickels.

Therefore, the number of cents is $7+6\cdot 5=37.$

Thus, the correct answer is C .

2.

¿Cuánto vale $\dfrac{2^3 + 2^3}{2^{-3} + 2^{-3}}$ ?

What is $\dfrac{2^3 + 2^3}{2^{-3} + 2^{-3}}?$

$16$

$24$

$32$

$48$

$64$

Conceptos:exponente

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Extrae el factor común $2$ del numerador y del denominador.

Factor the common $2$ from the numerator and denominator

Pista grande:

Dividir potencias de $2$ significa restar los exponentes.

Dividing powers of $2$ means subtracting exponents

Solución:

$\begin{aligned} \dfrac{2^3 + 2^3}{2^{-3} + 2^{-3}} &= \dfrac{2\cdot 2^3}{2\cdot 2^{-3}} \\&=2^6 \\&= 64 \end{aligned}$

Así, la respuesta correcta es E.

$\begin{aligned} \dfrac{2^3 + 2^3}{2^{-3} + 2^{-3}} &= \dfrac{2\cdot 2^3}{2\cdot 2^{-3}} \\&=2^6 \\&= 64 \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E .

3.

Randy condujo el primer tercio de su viaje por un camino de grava, las siguientes $20$ millas por pavimento, y el quinto restante por un camino de tierra. En millas, ¿qué longitud tenía el viaje de Randy?

Randy drove the first third of his trip on a gravel road, the next $20$ miles on pavement, and the remaining one-fifth on a dirt road. In miles, how long was Randy’s trip?

$30$

$\dfrac{400}{11}$

$\dfrac{75}{2}$

$40$

$\dfrac{300}{7}$

Conceptos:fracción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

La parte pavimentada es lo que queda después de las fracciones de grava y de tierra.

The paved part is what remains after the gravel and dirt fractions

Pista grande:

Iguala $\frac7{15}$ del viaje a $20$ .

Set $\frac7{15}$ of the trip equal to $20$

Solución:

Sea la distancia total del viaje igual a $t.$ Entonces obtenemos: $\begin{aligned}t &= \dfrac t5 + 20 + \dfrac t3 \\ t &= 20 + \dfrac {8t}{15} \\ \dfrac 7{15} t &= 20\\ t &= \dfrac{300}7.\end{aligned}$

Así, la respuesta correcta es E.

Let the path distance be $t.$ Then, we get: $\begin{aligned}t &= \dfrac t5 + 20 + \dfrac t3 \\ t &= 20 + \dfrac {8t}{15} \\ \dfrac 7{15} t &= 20\\ t &= \dfrac{300}7.\end{aligned}$

Thus, the correct answer is E .

4.

Susie paga $4$ panecillos y $3$ plátanos. Calvin gasta el doble pagando $2$ panecillos y $16$ plátanos. ¿Cuántas veces más caro es un panecillo que un plátano?

Susie pays for $4$ muffins and $3$ bananas. Calvin spends twice as much paying for $2$ muffins and $16$ bananas. A muffin is how many times as expensive as a banana?

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{5}{3}$

$\dfrac{7}{4}$

$2$

$\dfrac{13}{4}$

Conceptos:sistema de ecuaciones razón y proporción

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Toma como variables los precios del panecillo y del plátano.

Let the muffin and banana prices be variables

Pista grande:

Usa que Calvin gastó el doble que Susie antes de resolver la razón.

Use Calvin spent twice Susie’s amount before solving the ratio

Solución:

Sea $m$ el precio de un panecillo y sea el precio de un plátano igual a $b.$ Entonces, $\begin{aligned} 2(4m+3b) &= 16b + 2m\\ 8m+6b &= 16b + 2m \\ 10b &= 6m\\ m &= \dfrac 53 b.\end{aligned}$

Así, la respuesta correcta es B.

Let the price for a muffin be $m$ and let the price for a banana be $b.$ Then, $\begin{aligned} 2(4m+3b) &= 16b + 2m\\ 8m+6b &= 16b + 2m \\ 10b &= 6m\\ m &= \dfrac 53 b.\end{aligned}$

Thus, the correct answer is B .

5.

Doug construye una ventana cuadrada usando $8$ paneles de vidrio del mismo tamaño, como se muestra. La razón entre la altura y el ancho de cada panel es $5 : 2 ,$ y los bordes alrededor y entre los paneles miden $2$ pulgadas de ancho. En pulgadas, ¿cuál es la longitud del lado de la ventana cuadrada?

Doug constructs a square window using $8$ equal-size panes of glass, as shown. The ratio of the height to width for each pane is $5 : 2 ,$ and the borders around and between the panes are $2$ inches wide. In inches, what is the side length of the square window?

$\ 26$

$\ 28$

$\ 30$

$\ 32$

$\ 34$

Conceptos:razón y proporción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Escribe las dimensiones del panel como $5x$ por $2x$ .

Write the pane dimensions as $5x$ by $2x$

Pista grande:

Cuenta los anchos de los bordes horizontal y verticalmente e iguala los lados del cuadrado.

Count border widths horizontally and vertically and set the square sides equal

Solución:

Sea la altura de cada panel $5x$ y su anchura $2x$ . Verticalmente, la ventana contiene dos alturas de panel y tres bordes horizontales, así que su altura es $10x+6$ . Horizontalmente, contiene cuatro anchuras de panel y cinco bordes verticales, así que su anchura es $8x+10$ .

Como la ventana es cuadrada, $10x+6=8x+10$ , de modo que $x=2$ .

Por tanto, la longitud del lado es $10(2)+6=26$ pulgadas.

Así, la respuesta correcta es A.

Let each pane have height $5x$ and width $2x$ . Vertically, the window contains two pane heights and three horizontal borders, so its height is $10x+6$ . Horizontally, it contains four pane widths and five vertical borders, so its width is $8x+10$ .

Because the window is square, $10x+6=8x+10$ , so $x=2$ .

Therefore, the side length is $10(2)+6=26$ inches.

Thus, the correct answer is A .

6.

Orvin fue a la tienda con dinero justo para comprar $30$ globos. Al llegar, descubrió que la tienda tenía una oferta especial de globos: compra $1$ globo al precio regular y obtén un segundo con $\frac{1}{3}$ de descuento sobre el precio regular. ¿Cuál es la mayor cantidad de globos que Orvin podría comprar?

Orvin went to the store with just enough money to buy $30$ balloons. When he arrived, he discovered that the store had a special sale on balloons: buy $1$ balloon at the regular price and get a second at $\frac{1}{3}$ off the regular price. What is the greatest number of balloons Orvin could buy?

$33$

$34$

$36$

$38$

$39$

Conceptos:razón y proporción dinero emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Empareja cada globo a precio completo con su compañero con descuento.

Pair each full-price balloon with its discounted companion

Pista grande:

Un par de globos en oferta cuesta lo mismo que $\frac53$ globos a precio regular.

A two-balloon sale pair costs $\frac53$ regular balloons

Solución:

Cada par de globos cuesta $1+\frac23=\frac53$ veces el precio normal de un globo.

Por tanto, con el dinero para $30$ globos a precio normal, Orvin puede comprar $30\cdot\frac65=36$ globos.

Así, la respuesta correcta es C.

Each pair of balloons costs $1+\frac23=\frac53$ times the regular price of one balloon.

Thus, with the money for $30$ regular-price balloons, Orvin can buy $30\cdot\frac65=36$ balloons.

Thus, the correct answer is C .

7.

Supongamos que $A > B > 0$ y que $A$ es $x\%$ mayor que $B.$ ¿Cuánto vale $x$ ?

Suppose $A > B > 0$ and $A$ is $x\%$ greater than $B.$ What is $x?$

$100\left(\frac{A-B}{B}\right)$

$100\left(\frac{A+B}{B}\right)$

$100\left(\frac{A+B}{A}\right)$

$100\left(\frac{A-B}{A}\right)$

$100\left(\frac{A}{B}\right)$

Conceptos:porcentaje manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

El porcentaje en que es mayor se mide en relación con el valor más pequeño $B$ .

Percent greater is measured relative to the smaller value $B$

Pista grande:

Primero encuentra la fracción $\frac{A-B}{B}$ .

First find the fraction $\frac{A-B}{B}$

Solución:

Por definición, sabemos que $A = \dfrac {x+ 100}{100}B$ $= B + \dfrac x{100}B.$

Esto implica que $\begin{aligned} (A-B) &= \dfrac x{100}B\\ 100\left(\dfrac{A-B} B\right) &=x.\end{aligned}$

Así, la respuesta correcta es A.

By definition, we know $A = \dfrac {x+ 100}{100}B$ $= B + \dfrac x{100}B.$

This implies, $\begin{aligned} (A-B) &= \dfrac x{100}B\\ 100\left(\dfrac{A-B} B\right) &=x.\end{aligned}$

Thus, the correct answer is A .

8.

Un camión recorre $\dfrac{b}{6}$ pies cada $t$ segundos. Hay $3$ pies en una yarda. ¿Cuántas yardas recorre el camión en $3$ minutos?

A truck travels $\dfrac{b}{6}$ feet every $t$ seconds. There are $3$ feet in a yard. How many yards does the truck travel in $3$ minutes?

$\dfrac{b}{1080t}$

$\dfrac{30t}{b}$

$\dfrac{30b}{t}$

$\dfrac{10t}{b}$

$\dfrac{10b}{t}$

Conceptos:conversión de unidades tasa

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Primero convierte pies a yardas, y luego escala según el tiempo.

Convert feet to yards before scaling the time

Pista grande:

Tres minutos son $180$ segundos.

Three minutes is $180$ seconds

Solución:

Esto significa que recorre $\dfrac{b}{18}$ yardas en $t$ segundos, ya que una yarda equivale a $3$ pies. Entonces, en un segundo recorre $\dfrac{b}{18t}$ yardas.

Por lo tanto, en $3$ minutos, que son $180$ segundos, recorre $\dfrac{b}{18t}\cdot 180 = \dfrac {10b}t.$

Así, la respuesta correcta es E.

This means it travels $\dfrac{b}{18}$ yards in $t$ seconds since a yard is $3$ feet. Then, in one second, it travels $\dfrac{b}{18t}$ yards.

Therefore, in $3$ minutes which is $180$ seconds, it travels $\dfrac{b}{18t}\cdot 180 = \dfrac {10b}t.$

Thus, the correct answer is E .

9.

Para números reales $w$ y $z ,$ $\cfrac{\frac{1}{w} + \frac{1}{z}}{\frac{1}{w} - \frac{1}{z}} = 2014.$ ¿Cuánto vale $\frac{w+z}{w-z}$ ?

For real numbers $w$ and $z ,$ $\cfrac{\frac{1}{w} + \frac{1}{z}}{\frac{1}{w} - \frac{1}{z}} = 2014.$ What is $\frac{w+z}{w-z} ?$

$-2014$

$\dfrac{-1}{2014}$

$\dfrac{1}{2014}$

$1$

$2014$

Conceptos:manipulación algebraica fracción

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Multiplica el numerador y el denominador por $wz$ para eliminar las fracciones pequeñas.

Clear the tiny fractions by multiplying numerator and denominator by $wz$

Pista grande:

Observa el cambio de signo entre $z-w$ y $w-z$ .

Watch the sign change between $z-w$ and $w-z$

Solución:

Observa que $\begin{aligned} \dfrac{wz}{wz}\cdot \dfrac{\frac{1}{w} + \frac{1}{z}}{\frac{1}{w} - \frac{1}{z}} &= 2014\\ \dfrac{w+z}{z-w} &= 2014\\ \dfrac{w+z}{w-z} &= -1\cdot 2014\\ \dfrac{w+z}{w-z}&=-2014.\end{aligned}$

Así, la respuesta correcta es A.

Observe that: $\begin{aligned} \dfrac{wz}{wz}\cdot \dfrac{\frac{1}{w} + \frac{1}{z}}{\frac{1}{w} - \frac{1}{z}} &= 2014\\ \dfrac{w+z}{z-w} &= 2014\\ \dfrac{w+z}{w-z} &= -1\cdot 2014\\ \dfrac{w+z}{w-z}&=-2014.\end{aligned}$

Thus, the correct answer is A .

10.

En la suma que se muestra a continuación, $A,$ $B,$ $C,$ y $D$ son dígitos distintos. ¿Cuántos valores diferentes son posibles para $D$ ? $\begin{array}{r} ABBCB \\ + \ BCADA \\ \hline DBDDD \end{array}$

In the addition shown below $A,$ $B,$ $C,$ and $D$ are distinct digits. How many different values are possible for $D?$ $\begin{array}{r} ABBCB \\ + \ BCADA \\ \hline DBDDD \end{array}$

$2$

$4$

$7$

$8$

$9$

Conceptos:criptoaritmética dígitos análisis por casos

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

La suma por columnas obliga a $C=0$ .

Column addition forces $C=0$

Pista grande:

Después de eso, identifica qué dígitos pueden aparecer como $D=A+B$ .

After that, identify which digits can appear as $D=A+B$

Solución:

De la columna más a la izquierda no hay acarreo hacia un sexto dígito, así que $A+B=D\le 9$ .

La columna de las unidades es $B+A=D$ , así que tampoco tiene acarreo. La columna de las decenas da entonces $C+D=D$ , de donde $C=0$ .

Como $A$ y $B$ son dígitos distintos y no nulos, $D=A+B$ puede ser cualquier dígito de $3$ a $9$ . Por ejemplo, $(A,B)=(1,2),$ $(1,3),$ $(2,3),$ $(2,4),$ $(2,5),$ $(2,6),$ $(2,7)$ dan $D=3,4,5,6,7,8,9$ .

Así, hay $7$ valores posibles de $D$ , y la respuesta correcta es C.

From the leftmost column, there is no carry into a sixth digit, so $A+B=D\le 9$ .

The units column is $B+A=D$ , so it also has no carry. The tens column then gives $C+D=D$ , hence $C=0$ .

Since $A$ and $B$ are distinct nonzero digits, $D=A+B$ can be any digit from $3$ through $9$ . For example, $(A,B)=(1,2),$ $(1,3),$ $(2,3),$ $(2,4),$ $(2,5),$ $(2,6),$ $(2,7)$ give $D=3,4,5,6,7,8,9$ .

Thus there are $7$ possible values of $D$ , and the correct answer is C .

11.

Para el consumidor, un único descuento de $n\%$ es más ventajoso que cualquiera de los siguientes descuentos:

$(1)$ Dos descuentos sucesivos de $15\%$ .

$(2)$ Tres descuentos sucesivos de $10\%$ .

$(3)$ Un descuento de $25\%$ seguido de un descuento de $5\%$ .

¿Cuál es el menor valor entero positivo posible de $n$ ?

For the consumer, a single discount of $n\%$ is more advantageous than any of the following discounts:

$(1)$ Two successive $15\%$ discounts.

$(2)$ Three successive $10\%$ discounts.

$(3)$ A $25\%$ discount followed by a $5\%$ discount.

What is the smallest possible positive integer value of $n?$

$\ \ 27$

$\ 28$

$\ 29$

$\ 31$

$\ 33$

Conceptos:porcentaje desigualdad

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Convierte cada descuento acumulado en la fracción final del precio que se paga.

Convert each stacked discount into the final fraction of the price paid

Pista grande:

El descuento único debe superar al mayor de los tres descuentos efectivos.

The single discount must exceed the largest of the three effective discounts

Solución:

Los tres planes de descuentos sucesivos hacen que el cliente pague $\begin{aligned} 0.85^2&=0.7225,\\ 0.9^3&=0.729,\\ 0.75(0.95)&=0.7125 \end{aligned}$ veces el precio marcado. Por tanto, sus descuentos efectivos son $27.75\%$ , $27.1\%$ y $28.75\%$ .

Un solo descuento de $n\%$ debe superar los tres, así que $n>28.75$ . El menor entero positivo que funciona es $29$ .

Así, la respuesta correcta es C.

The three successive-discount plans leave the customer paying $\begin{aligned} 0.85^2&=0.7225,\\ 0.9^3&=0.729,\\ 0.75(0.95)&=0.7125 \end{aligned}$ times the listed price. Their effective discounts are therefore $27.75\%$ , $27.1\%$ , and $28.75\%$ .

A single $n\%$ discount must exceed all three, so $n>28.75$ . The smallest positive integer that works is $29$ .

Thus, the correct answer is C .

12.

El mayor divisor de $2{,}014{,}000{,}000$ es él mismo. ¿Cuál es su quinto divisor más grande?

The largest divisor of $2{,}014{,}000{,}000$ is itself. What is its fifth-largest divisor?

$125{,}875{,}000$

$201{,}400{,}000$

$251{,}750{,}000$

$402{,}800{,}000$

$503{,}500{,}000$

Conceptos:factor factorización en primos

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

El quinto divisor más grande se empareja con el quinto divisor más pequeño.

The fifth largest divisor pairs with the fifth smallest divisor

Pista grande:

Enumera los divisores más pequeños a partir de la factorización en primos.

List the smallest divisors from the prime factorization

Solución:

El quinto divisor más grande es $2,014,000,000$ dividido entre el quinto divisor más pequeño.

La factorización en primos de $2,014,000,000$ es $2^7\cdot 5^6 \cdot 19\cdot 53.$ Esto hace que los primeros $5$ divisores más pequeños sean $1,2,4,5,8$ . Por lo tanto, el quinto divisor más pequeño es $8,$ y el quinto divisor más grande debe ser $\dfrac{2014000000}8 =251750000.$

Así, la respuesta correcta es C.

The fifth-largest divisor is $2,014,000,000$ divided by the fifth smallest divisor.

The prime factorization of $2,014,000,000$ is: $2^7\cdot 5^6 \cdot 19\cdot 53.$ This makes the first $5$ smallest divisors $1,2,4,5,8.$ Therefore, the fifth smallest divisor is $8,$ and the fifth largest divisor must be: $\dfrac{2014000000}8 =251750000.$

Thus, the correct answer is C .

13.

Seis hexágonos regulares rodean un hexágono regular de lado $1$ , como se muestra. ¿Cuál es el área de $\triangle{ABC}$ ?

Six regular hexagons surround a regular hexagon of side length $1$ as shown. What is the area of $\triangle{ABC}?$

$2\sqrt{3}$

$3\sqrt{3}$

$1+3\sqrt{2}$

$2+2\sqrt{3}$

$3+2\sqrt{3}$

Conceptos:polígono regular triángulo equilátero área del triángulo

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Usa los ángulos del hexágono regular para hallar el lado de $\triangle ABC$ .

Use the regular hexagon angles to find the side of $\triangle ABC$

Pista grande:

El triángulo resultante es equilátero.

The resulting triangle is equilateral

Solución:

Sigue la retícula de $60^\circ$ formada por los hexágonos unitarios y coloca $A=(0,0)$ . Los vértices marcados se pueden escribir entonces como $B=(3,\sqrt3)$ y $C=(3,-\sqrt3)$ .

Entonces $BC=2\sqrt3$ , y $\begin{aligned} AB=AC&=\sqrt{3^2+(\sqrt3)^2}\\ &=2\sqrt3. \end{aligned}$ Por lo tanto, $\triangle ABC$ es equilátero, con área $\frac{(2\sqrt3)^2\sqrt3}{4}=3\sqrt3.$

Así, la respuesta correcta es B.

Follow the $60^\circ$ grid formed by the unit hexagons and place $A=(0,0)$ . The marked vertices may then be written as $B=(3,\sqrt3)$ and $C=(3,-\sqrt3)$ .

Thus $BC=2\sqrt3$ , and $\begin{aligned} AB=AC&=\sqrt{3^2+(\sqrt3)^2}\\ &=2\sqrt3. \end{aligned}$ Hence $\triangle ABC$ is equilateral, with area $\frac{(2\sqrt3)^2\sqrt3}{4}=3\sqrt3.$

Thus, the correct answer is B .

14.

Danica condujo su auto nuevo en un viaje durante un número entero de horas, promediando $55$ millas por hora. Al comienzo del viaje, el odómetro mostraba $abc$ millas, donde $abc$ es un número de $3$ dígitos con $a\ge1$ y $a+b+c\le7.$ Al final del viaje, el odómetro mostró $cba$ millas. ¿Cuánto vale $a^2+b^2+c^2$ ?

Danica drove her new car on a trip for a whole number of hours, averaging $55$ miles per hour. At the beginning of the trip, $abc$ miles was displayed on the odometer, where $abc$ is a $3$ -digit number with $a\ge1$ and $a+b+c\le7.$ At the end of the trip, the odometer showed $cba$ miles. What is $a^2+b^2+c^2?$

$26$

$27$

$36$

$37$

$41$

Conceptos:dígitos divisibilidad

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

El cambio del odómetro es $99(c-a)$ .

The odometer change is $99(c-a)$

Pista grande:

Este cambio también debe ser un múltiplo de $55$ .

It must also be a multiple of $55$

Solución:

Sabemos que la diferencia de los números $cba$ y $abc$ es igual a $100c + 10b+a - 100a - 10b-c$ $= 99(c-a)$ Sabemos que este número también debe ser un múltiplo de $55.$ Como $\gcd(55,99)$ es $11,$ sabemos que $c-a$ es un múltiplo de $5,$ y $c > a.$

Esto hace que $a = 1, b = 0, c = 6$ sea el único valor posible con $a+ b+c \leq 7$ , ya que cualquier otra combinación tiene $a+b+c > 7.$ Por lo tanto, $a^2+b^2+c^2 = 37.$

Así, la respuesta correcta es D.

We know that the difference of the numbers $cba$ and $abc$ is equal to: $100c + 10b+a - 100a - 10b-c$ $= 99(c-a)$ We know that this number also must be a multiple of $55.$ As $\gcd(55,99)$ is $11,$ we know that $c-a$ is a multiple of $5,$ and $c > a.$

This makes $a = 1, b = 0, c = 6$ the only possible value with $a+ b+c \leq 7$ as every other combination has $a+b+c > 7.$ As such, $a^2+b^2+c^2 = 37.$

Thus, the correct answer is D .

15.

En el rectángulo $ABCD,$ $DC = 2 \cdot CB$ y los puntos $E$ y $F$ están sobre $\overline{AB}$ de modo que $\overline{ED}$ y $\overline{FD}$ trisecan $\angle ADC$ , como se muestra. ¿Cuál es la razón entre el área de $\triangle DEF$ y el área del rectángulo $ABCD$ ?

In rectangle $ABCD,$ $DC = 2 \cdot CB$ and points $E$ and $F$ lie on $\overline{AB}$ so that $\overline{ED}$ and $\overline{FD}$ trisect $\angle ADC$ as shown. What is the ratio of the area of $\triangle DEF$ to the area of rectangle $ABCD?$

$\ \ \dfrac{\sqrt{3}}{6}$

$\ \dfrac{\sqrt{6}}{8}$

$\ \dfrac{3\sqrt{3}}{16}$

$\ \dfrac{1}{3}$

$\ \dfrac{\sqrt{2}}{4}$

Conceptos:trigonometría razón de áreas rectángulo

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Usa los rayos de $30^\circ$ y $60^\circ$ desde $D$ .

Use the $30^\circ$ and $60^\circ$ rays from $D$

Pista grande:

Encuentra $EF$ , y luego compara las áreas del triángulo y del rectángulo.

Find $EF$ , then compare triangle and rectangle areas

Solución:

Sea $AD=h.$ Como $DC=AB=2h,$ el área del rectángulo $ABCD$ es $2h^2.$

Los rayos $DE$ y $DF$ forman ángulos de $60^\circ$ y $30^\circ,$ respectivamente, con $DC.$

Por lo tanto, $AE=h\tan30^\circ=\dfrac{h}{\sqrt3}$ y $AF=h\tan60^\circ=h\sqrt3.$

Entonces $\begin{aligned}EF&=AF-AE\\&=h\sqrt3-\dfrac{h}{\sqrt3}\\&=\dfrac{2h\sqrt3}{3}.\end{aligned}$ El área de $\triangle DEF$ es $\dfrac12\cdot EF\cdot h=\dfrac{h^2\sqrt3}{3}.$

La razón buscada es $\dfrac{\frac{h^2\sqrt3}{3}}{2h^2}=\dfrac{\sqrt3}{6}.$ Así, la respuesta correcta es A.

Let $AD=h.$ Since $DC=AB=2h,$ the area of rectangle $ABCD$ is $2h^2.$

The rays $DE$ and $DF$ make angles of $60^\circ$ and $30^\circ,$ respectively, with $DC.$

Therefore, $AE=h\tan30^\circ=\dfrac{h}{\sqrt3}$ and $AF=h\tan60^\circ=h\sqrt3.$

Hence $\begin{aligned}EF&=AF-AE\\&=h\sqrt3-\dfrac{h}{\sqrt3}\\&=\dfrac{2h\sqrt3}{3}.\end{aligned}$ The area of $\triangle DEF$ is $\dfrac12\cdot EF\cdot h=\dfrac{h^2\sqrt3}{3}.$

The desired ratio is $\dfrac{\frac{h^2\sqrt3}{3}}{2h^2}=\dfrac{\sqrt3}{6}.$ Thus, the correct answer is A.

16.

Se lanzan cuatro dados justos de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos tres de los cuatro dados muestren el mismo valor?

Four fair six-sided dice are rolled. What is the probability that at least three of the four dice show the same value?

$\dfrac{1}{36}$

$\dfrac{7}{72}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{5}{36}$

$\dfrac{1}{6}$

Conceptos:dados (probabilidad)análisis por casos

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Cuenta por separado exactamente tres dados iguales y cuatro dados iguales.

Count exactly three equal dice and four equal dice separately

Pista grande:

Para exactamente tres dados iguales, elige la posición del dado distinto.

For exactly three equal dice, choose the odd die position

Solución:

Hay $6^4$ resultados ordenados igualmente probables.

Si exactamente tres dados muestran el mismo valor, elige el valor repetido de $6$ maneras, el valor diferente de $5$ maneras, y la posición del dado distinto de $4$ maneras. Esto da $6\cdot5\cdot4=120$ resultados.

Si los cuatro dados coinciden, hay $6$ resultados.

La probabilidad es $\frac{120+6}{6^4}=\frac{126}{1296}=\frac7{72}$ .

Así, la respuesta correcta es B.

There are $6^4$ equally likely ordered outcomes.

If exactly three dice show the same value, choose the repeated value in $6$ ways, the different value in $5$ ways, and the position of the different die in $4$ ways. This gives $6\cdot5\cdot4=120$ outcomes.

If all four dice match, there are $6$ outcomes.

The probability is $\frac{120+6}{6^4}=\frac{126}{1296}=\frac7{72}$ .

Thus, the correct answer is B .

17.

¿Cuál es la mayor potencia de $2$ que es un factor de $10^{1002} - 4^{501}$ ?

What is the greatest power of $2$ that is a factor of $10^{1002} - 4^{501}?$

$2^{1002}$

$2^{1003}$

$2^{1004}$

$2^{1005}$

$2^{1006}$

Conceptos:potencia de 2 factorización diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Primero extrae el factor $2^{1002}$ .

Factor out $2^{1002}$

Pista grande:

Determina la potencia exacta de $2$ en $5^{1002}-1$ .

Determine the exact power of $2$ in $5^{1002}-1$

Solución:

Extrae la potencia obvia de $2$ : $10^{1002}-4^{501}=2^{1002}(5^{1002}-1)$ .

Como $5^{1002}-1=(5^{501}-1)(5^{501}+1)$ , y $501$ es impar, $5^{501}-1$ es divisible entre $4$ pero no entre $8$ , mientras que $5^{501}+1$ es divisible entre $2$ pero no entre $4$ .

Por lo tanto, $5^{1002}-1$ aporta exactamente $2^3$ , así que la expresión completa es divisible entre $2^{1005}$ pero no entre $2^{1006}$ .

Así, la respuesta correcta es D.

Factor out the obvious power of $2$ : $10^{1002}-4^{501}=2^{1002}(5^{1002}-1)$ .

Since $5^{1002}-1=(5^{501}-1)(5^{501}+1)$ , and $501$ is odd, $5^{501}-1$ is divisible by $4$ but not by $8$ , while $5^{501}+1$ is divisible by $2$ but not by $4$ .

Thus $5^{1002}-1$ contributes exactly $2^3$ , so the whole expression is divisible by $2^{1005}$ but not $2^{1006}$ .

Thus, the correct answer is D .

18.

Una lista de $11$ enteros positivos tiene media $10,$ mediana $9,$ y una única moda $8.$ ¿Cuál es el mayor valor posible de un entero de la lista?

A list of $11$ positive integers has a mean of $10,$ a median of $9,$ and a unique mode of $8.$ What is the largest possible value of an integer in the list?

$24$

$30$

$31$

$33$

$35$

Conceptos:media mediana (datos)moda optimización

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

La suma total de la lista es $110$ .

The total sum of the list is $110$

Pista grande:

Minimiza las primeras diez entradas manteniendo a $8$ como la única moda y a $9$ como la mediana.

Minimize the first ten entries while keeping $8$ the unique mode and $9$ the median

Solución:

La lista tiene suma total $11\cdot10=110$ . Para maximizar la mayor entrada, minimiza la suma de las otras diez entradas.

En orden no decreciente, la sexta entrada es $9$ , y $8$ debe ser la única moda. Si $8$ aparece dos veces, la menor suma posible de las primeras diez entradas es $1+2+3+8+8+9$ $+10+11+12+13$ $=77$ , lo que da una mayor entrada de $33$ .

Si $8$ aparece tres veces, las menores primeras diez entradas posibles son $1,1,8,8,8,9,9,10,10,11$ , con suma $75$ , lo que da una mayor entrada de $35$ .

Si $8$ aparece cuatro o cinco veces, la menor suma posible de las primeras diez entradas es al menos $80$ , así que la mayor entrada es a lo sumo $30$ .

Por lo tanto, la mayor entrada posible es $35$ , y la respuesta correcta es E.

The list has total sum $11\cdot10=110$ . To maximize the largest entry, minimize the sum of the other ten entries.

In nondecreasing order, the sixth entry is $9$ , and $8$ must be the unique mode. If $8$ appears twice, the least possible first ten entries sum to $1+2+3+8+8+9$ $+10+11+12+13$ $=77$ , giving largest entry $33$ .

If $8$ appears three times, the least possible first ten entries are $1,1,8,8,8,9,9,10,10,11$ , with sum $75$ , giving largest entry $35$ .

If $8$ appears four or five times, the least possible sum of the first ten entries is at least $80$ , so the largest entry is at most $30$ .

Therefore the largest possible entry is $35$ , and the correct answer is E .

19.

Dos circunferencias concéntricas tienen radios $1$ y $2.$ Se eligen dos puntos sobre la circunferencia exterior de manera independiente y uniforme al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la cuerda que une los dos puntos corte la circunferencia interior?

Two concentric circles have radii $1$ and $2.$ Two points on the outer circle are chosen independently and uniformly at random. What is the probability that the chord joining the two points intersects the inner circle?

$\ \dfrac{1}{6}$

$\ \dfrac{1}{4}$

$\ \dfrac{2-\sqrt{2}}{2}$

$\ \dfrac{1}{3}$

$\ \dfrac{1}{2}$

Conceptos:probabilidad geométrica cuerda recta tangente

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Fija un extremo sobre la circunferencia exterior.

Fix one endpoint on the outer circle

Pista grande:

Las cuerdas límite son tangentes a la circunferencia interior.

The limiting chords are tangent to the inner circle

Solución:

Fijemos el primer extremo $A$ en el círculo exterior. Tracemos desde $A$ las dos cuerdas tangentes al círculo interior y llamemos $B$ y $C$ a sus otros extremos. Una cuerda desde $A$ corta el círculo interior exactamente cuando su segundo extremo está en el arco menor $BC$ .

Si $O$ es el centro común y $D$ es un punto de tangencia, entonces $\triangle AOD$ es rectángulo, con $OA=2$ y $OD=1$ . Por tanto, $\angle OAD=30^\circ$ . Las dos cuerdas tangentes forman entonces un ángulo de $60^\circ$ en $A$ , así que el arco menor interceptado $BC$ mide $120^\circ$ .

Por tanto, la probabilidad es $\dfrac {120^\circ}{360^\circ} = \dfrac 13 .$

Así, la respuesta correcta es D.

Fix the first endpoint $A$ on the outer circle. Draw the two chords from $A$ that are tangent to the inner circle, and call their other endpoints $B$ and $C$ . A chord from $A$ meets the inner circle exactly when its second endpoint lies on the minor arc $BC$ .

If $O$ is the common center and $D$ is a tangency point, then $\triangle AOD$ is right, with $OA=2$ and $OD=1$ . Hence $\angle OAD=30^\circ$ . The two tangent chords therefore make a $60^\circ$ angle at $A$ , so the intercepted minor arc $BC$ measures $120^\circ$ .

Therefore, the probability is $\dfrac {120^\circ}{360^\circ} = \dfrac 13 .$

Thus, the correct answer is D .

20.

¿Para cuántos enteros $x$ el número $x^4-51x^2+50$ es negativo?

For how many integers $x$ is the number $x^4-51x^2+50$ negative?

$8$

$10$

$12$

$14$

$16$

Conceptos:factorización desigualdad conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Factoriza la expresión como un producto en $x^2$ .

Factor the expression as a product in $x^2$

Pista grande:

Encuentra dónde los dos factores tienen signos opuestos.

Find where the two factors have opposite signs

Solución:

Primero, observemos que $x^4-51x^2+50$ $= (x^2-50)(x^2-1).$

El producto es negativo exactamente cuando sus dos factores tienen signos opuestos. Como $x^2-50<x^2-1$ , esto exige $x^2-50<0<x^2-1$ . Entonces $1<x^2<50$ , o bien $2\le |x|\le7$ . Hay $6$ soluciones enteras positivas y $6$ negativas, para un total de $12$ .

Así, la respuesta correcta es C.

First, note that $x^4-51x^2+50$ $= (x^2-50)(x^2-1).$

The product is negative exactly when its two factors have opposite signs. Since $x^2-50<x^2-1$ , this requires $x^2-50<0<x^2-1$ . Thus $1<x^2<50$ , or $2\le |x|\le7$ . There are $6$ positive and $6$ negative integer solutions, for a total of $12$ .

Thus, the correct answer is C .

21.

El trapecio $ABCD$ tiene lados paralelos $\overline{AB}$ de longitud $33$ y $\overline {CD}$ de longitud $21 .$ Los otros dos lados tienen longitudes $10$ y $14 .$ Los ángulos $A$ y $B$ son agudos. ¿Cuál es la longitud de la diagonal más corta de $ABCD$ ?

Trapezoid $ABCD$ has parallel sides $\overline{AB}$ of length $33$ and $\overline {CD}$ of length $21 .$ The other two sides are of lengths $10$ and $14 .$ The angles $A$ and $B$ are acute. What is the length of the shorter diagonal of $ABCD ?$

$10\sqrt{6}$

$25$

$8\sqrt{10}$

$18\sqrt{2}$

$26$

Conceptos:trapecio Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Baja perpendiculares desde la base más corta hasta la base más larga.

Drop perpendiculars from the shorter base to the longer base

Pista grande:

Usa las longitudes de los dos lados no paralelos para hallar los desplazamientos horizontales.

Use the two leg lengths to find the horizontal offsets

Solución:

Sean $E$ y $F$ los pies de las perpendiculares desde $D$ y $C$ hasta $AB$ , respectivamente. Como en la figura, tomemos $AD=10$ y $BC=14$ ; intercambiar los dos lados no paralelos solo refleja el trapecio.

Sea $AE=x$ y sea $h$ la altura. Como $EF=CD=21$ y $AB=33$ , tenemos $FB=12-x$ .

Los dos triángulos rectángulos dan $10^2=x^2+h^2$ y $14^2=(12-x)^2+h^2.$ Al restar, obtenemos $96=144-24x$ , así que $x=2$ y $h^2=96$ .

La diagonal más corta es $AC$ , cuyo desplazamiento horizontal es $AE+EF=2+21=23$ . Por tanto, $AC=\sqrt{23^2+96}=\sqrt{625}=25.$

Así, la respuesta correcta es B.

Let the feet of the perpendiculars from $D$ and $C$ to $AB$ be $E$ and $F$ , respectively. As drawn, take $AD=10$ and $BC=14$ ; interchanging the two legs only reflects the trapezoid.

Let $AE=x$ and let the altitude be $h$ . Since $EF=CD=21$ and $AB=33$ , we have $FB=12-x$ .

The two right triangles give $10^2=x^2+h^2$ and $14^2=(12-x)^2+h^2.$ Subtracting yields $96=144-24x$ , so $x=2$ and $h^2=96$ .

The shorter diagonal is $AC$ , whose horizontal displacement is $AE+EF=2+21=23$ . Therefore $AC=\sqrt{23^2+96}=\sqrt{625}=25.$

Thus, the correct answer is B .

22.

Ocho semicírculos recubren el interior de un cuadrado de lado $2$ , como se muestra. ¿Cuál es el radio del círculo tangente a todos estos semicírculos?

Eight semicircles line the inside of a square with side length $2$ as shown. What is the radius of the circle tangent to all of these semicircles?

$\dfrac{1+\sqrt2}4$

$\dfrac{\sqrt5-1}2$

$\dfrac{\sqrt3+1}4$

$\dfrac{2\sqrt3}5$

$\dfrac{\sqrt5}3$

Conceptos:circunferencias tangentes Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Conecta el centro del círculo pequeño con el centro de un semicírculo.

Connect the center of the small circle to a semicircle center

Pista grande:

El radio buscado es una distancia entre centros menos $\frac12$ .

The needed radius is a center distance minus $\frac12$

Solución:

La distancia del centro del cuadrado al centro de los semicírculos se puede hallar como la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

Uno de los catetos va del centro del cuadrado al centro de uno de los lados, con distancia $1.$

El otro cateto va del centro del lado al centro de uno de los semicírculos, con distancia $\dfrac 12.$ Esto también muestra que el radio de los semicírculos es $\dfrac 12.$

Por lo tanto, la distancia del centro del cuadrado al centro del semicírculo es $\sqrt{1^2 + \left(\dfrac 12\right)^2} = \dfrac {\sqrt 5}2.$ Luego, restamos $\dfrac 12$ por el radio del semicírculo. Esto hace que el radio del círculo sea $\dfrac{\sqrt 5 -1}2 .$

Así, la respuesta correcta es B.

The distance from the center of the square to the center of the semicircles can be found as a hypotenuse of a right triangle.

One of the legs is from the center of the square to the center of one of the sides which is of distance $1.$

The other leg is from the center of the side to the center of one of the semicircles which is of distance $\dfrac 12.$ This also shows that the radius of the semicircles is $\dfrac 12.$

Therefore, the distance from the center of the square to the center of the semicircle is $\sqrt{1^2 + \left(\dfrac 12\right)^2} = \dfrac {\sqrt 5}2.$ Then we subtract $\dfrac 12$ for the radius of the semicircle. This makes the radius of the circle $\dfrac{\sqrt 5 -1}2 .$

Thus, the correct answer is B .

23.

Una esfera está inscrita en un cono circular recto truncado, como se muestra. El volumen del cono truncado es el doble del de la esfera. ¿Cuál es la razón entre el radio de la base inferior del cono truncado y el radio de la base superior del cono truncado?

A sphere is inscribed in a truncated right circular cone as shown. The volume of the truncated cone is twice that of the sphere. What is the ratio of the radius of the bottom base of the truncated cone to the radius of the top base of the truncated cone?

$\dfrac32$

$\dfrac{1+\sqrt5}2$

$\sqrt3$

$2$

$\dfrac{3+\sqrt5}2$

Conceptos:cono esfera volumen

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Escala el radio superior a $1$ .

Scale the top radius to $1$

Pista grande:

Usa una sección transversal para relacionar el radio de la esfera con el radio inferior.

Use a cross-section to relate the sphere radius to the bottom radius

Solución:

Sea $1$ el radio superior, $R$ el radio inferior y $a$ el radio de la esfera inscrita.

En la sección transversal, la esfera es tangente a las dos bases, así que la altura del tronco es $2a$ . Si el centro de la esfera es el origen, un lado inclinado une $(1,a)$ con $(R,-a)$ . Su ecuación es $2ax+(R-1)y-a(R+1)=0.$ Como esta recta es tangente al círculo de radio $a$ , su distancia al origen es $a$ . Por tanto, $\frac{a(R+1)}{\sqrt{4a^2+(R-1)^2}}=a,$ lo que se simplifica a $R=a^2$ .

El volumen del tronco es $\frac13\pi(R^2+R+1)(2a)$ $=\frac{2a\pi}{3}(a^4+a^2+1)$ .

Esto es el doble del volumen de la esfera, $\frac{8a^3\pi}{3}$ . Al cancelar, obtenemos $a^4-3a^2+1=0$ , por lo que $R^2-3R+1=0$ .

Como el radio inferior es mayor que el superior, $R>1$ . Así, $R=\frac{3+\sqrt5}{2}$ , y la respuesta correcta es E.

Let the top radius be $1$ , the bottom radius be $R$ , and the inscribed sphere radius be $a$ .

In the cross-section, the sphere is tangent to the two bases, so the frustum height is $2a$ . A slanted side joins $(1,a)$ to $(R,-a)$ , if the sphere’s center is the origin. Its equation is $2ax+(R-1)y-a(R+1)=0.$ Because this line is tangent to the circle of radius $a$ , its distance from the origin is $a$ . Thus $\frac{a(R+1)}{\sqrt{4a^2+(R-1)^2}}=a,$ which simplifies to $R=a^2$ .

The frustum volume is $\frac13\pi(R^2+R+1)(2a)$ $=\frac{2a\pi}{3}(a^4+a^2+1)$ .

This is twice the sphere volume, $\frac{8a^3\pi}{3}$ . Cancelling gives $a^4-3a^2+1=0$ , so $R^2-3R+1=0$ .

Since the bottom radius is larger than the top radius, $R>1$ . Thus $R=\frac{3+\sqrt5}{2}$ , and the correct answer is E .

24.

Los números $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5$ se van a colocar en un círculo. Una disposición es $\textit{bad}$ (mala) si no es cierto que para todo $n$ de $1$ a $15$ se pueda encontrar un subconjunto de los números que aparecen consecutivamente en el círculo cuya suma sea $n.$ Las disposiciones que difieren solo por una rotación o una reflexión se consideran iguales. ¿Cuántas disposiciones malas diferentes hay?

The numbers $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5$ are to be arranged in a circle. An arrangement is $\textit{bad}$ if it is not true that for every $n$ from $1$ to $15$ one can find a subset of the numbers that appear consecutively on the circle that sum to $n.$ Arrangements that differ only by a rotation or a reflection are considered the same. How many different bad arrangements are there?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5 .$

Conceptos:arreglos circulares análisis por casos

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Basta con poder formar las sumas consecutivas $6$ y $7$ .

It is enough to make consecutive sums $6$ and $7$

Pista grande:

Clasifica las disposiciones donde $6$ o $7$ es imposible.

Classify arrangements where $6$ or $7$ is impossible

Solución:

Los números individuales dan sumas de $1$ a $5$ , los complementos dan sumas de $10$ a $14$ , y los cinco números juntos dan $15$ . Así que una disposición es buena exactamente cuando los bloques consecutivos pueden formar las sumas $6$ y $7$ .

Si la suma $6$ es imposible, entonces $1$ no es adyacente a $5$ . Rotando y reflejando, escribe la disposición como $1bc5e$ . El par adyacente $bc$ no puede ser $\{2,3\}$ ni $\{2,4\}$ , ya que $1+2+3=6$ y $2+4=6$ . Así, $e=2$ , y al evitar el bloque consecutivo $2,1,3$ se obliga la disposición mala $14352$ .

Si la suma $7$ es imposible, entonces $2$ no es adyacente a $5$ . De manera similar, escribe la disposición como $2bc5e$ . Ahora $bc$ no puede ser $\{3,4\}$ ni $\{1,4\}$ , así que $e=4$ . Para evitar el bloque consecutivo $4,2,1$ , el orden restante debe ser $b=3,\ c=1$ , lo que da $23154$ .

Estas dos disposiciones son en efecto malas, una a la que le falta la suma $6$ y la otra a la que le falta la suma $7$ . Por lo tanto, hay $2$ disposiciones malas.

Así, la respuesta correcta es B.

Single numbers give sums $1$ through $5$ , complements give sums $10$ through $14$ , and all five numbers give $15$ . So an arrangement is good exactly when consecutive blocks can make sums $6$ and $7$ .

If sum $6$ is impossible, then $1$ is not adjacent to $5$ . By rotating and reflecting, write the arrangement as $1bc5e$ . The adjacent pair $bc$ cannot be $\{2,3\}$ or $\{2,4\}$ , since $1+2+3=6$ and $2+4=6$ . Thus $e=2$ , and avoiding the consecutive block $2,1,3$ forces the bad arrangement $14352$ .

If sum $7$ is impossible, then $2$ is not adjacent to $5$ . Similarly write the arrangement as $2bc5e$ . Now $bc$ cannot be $\{3,4\}$ or $\{1,4\}$ , so $e=4$ . To avoid the consecutive block $4,2,1$ , the remaining order must be $b=3,\ c=1$ , giving $23154$ .

These two arrangements are indeed bad, one missing sum $6$ and the other missing sum $7$ . Hence there are $2$ bad arrangements.

Thus, the correct answer is B .

25.

En un pequeño estanque hay once hojas de nenúfar en fila, etiquetadas del $0$ al $10.$ Una rana está sentada en la hoja $1.$ Cuando la rana está en la hoja $N,$ donde $0 < N < 10,$ saltará a la hoja $N-1$ con probabilidad $\frac{N}{10}$ y a la hoja $N+1$ con probabilidad $1-\frac{N}{10}.$ Cada salto es independiente de los saltos anteriores.

Si la rana llega a la hoja $0$ , será comida por una serpiente que espera pacientemente. Si la rana llega a la hoja $10$ , saldrá del estanque para no volver. ¿Cuál es la probabilidad de que la rana escape sin ser comida por la serpiente?

In a small pond there are eleven lily pads in a row labeled $0$ through $10.$ A frog is sitting on pad $1.$ When the frog is on pad $N,$ where $0 < N < 10,$ it will jump to pad $N-1$ with probability $\frac{N}{10}$ and to pad $N+1$ with probability $1-\frac{N}{10}.$ Each jump is independent of the previous jumps.

If the frog reaches pad $0$ it will be eaten by a patiently waiting snake. If the frog reaches pad $10$ it will exit the pond, never to return. What is the probability that the frog will escape without being eaten by the snake?

$\dfrac{32}{79}$

$\dfrac{161}{384}$

$\dfrac{63}{146}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:camino aleatorio probabilidad recursiva simetría

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Sea $p_i$ la probabilidad de escape empezando en la hoja $i$ .

Let $p_i$ be the escape probability starting on pad $i$

Pista grande:

Usa la simetría en la hoja $5$ y resuelve hacia atrás hasta $p_1$ .

Use symmetry at pad $5$ and solve backward to $p_1$

Solución:

Sea $p_i$ la probabilidad de que la rana escape finalmente empezando desde la hoja $i$ . Entonces $p_0=0$ , $p_{10}=1$ , y por simetría $p_5=\frac12$ .

Para $1\le i\le 4$ , $p_i=\frac{i}{10}p_{i-1}+\frac{10-i}{10}p_{i+1}$ .

Trabajando hacia abajo desde $p_5=\frac12$ , obtenemos $p_4=\frac25p_3+\frac3{10}$ , luego $p_3=\frac3{10}p_2+\frac7{10}p_4=\frac5{12}p_2+\frac7{24}$ .

A continuación $p_2=\frac15p_1+\frac45p_3=\frac3{10}p_1+\frac7{20}$ . Finalmente $p_1=\frac9{10}p_2$ .

Sustituyendo la expresión para $p_2$ se obtiene $p_1=\frac9{10}\left(\frac3{10}p_1+\frac7{20}\right)$ , así que $p_1=\frac{63}{146}$ .

Así, la respuesta correcta es C.

Let $p_i$ be the probability that the frog eventually escapes starting from pad $i$ . Then $p_0=0$ , $p_{10}=1$ , and by symmetry $p_5=\frac12$ .

For $1\le i\le 4$ , $p_i=\frac{i}{10}p_{i-1}+\frac{10-i}{10}p_{i+1}$ .

Working downward from $p_5=\frac12$ , we get $p_4=\frac25p_3+\frac3{10}$ , then $p_3=\frac3{10}p_2+\frac7{10}p_4=\frac5{12}p_2+\frac7{24}$ .

Next $p_2=\frac15p_1+\frac45p_3=\frac3{10}p_1+\frac7{20}$ . Finally $p_1=\frac9{10}p_2$ .

Substituting the expression for $p_2$ gives $p_1=\frac9{10}\left(\frac3{10}p_1+\frac7{20}\right)$ , so $p_1=\frac{63}{146}$ .

Thus, the correct answer is C .