Question

En el cuadrado $ABCD,$ los puntos $P$ y $Q$ están sobre $\overline{AD}$ y $\overline{AB},$ respectivamente. Los segmentos $\overline{BP}$ y $\overline{CQ}$ se cortan en ángulo recto en $R,$ con $BR = 6$ y $PR = 7.$ ¿Cuál es el área del cuadrado?

In square $ABCD,$ points $P$ and $Q$ lie on $\overline{AD}$ and $\overline{AB},$ respectively. Segments $\overline{BP}$ and $\overline{CQ}$ intersect at right angles at $R,$ with $BR = 6$ and $PR = 7.$ What is the area of the square?

$85$

$93$

$100$

$117$

$125$

Solución:

Como $BR=6$ y $PR=7$ , tenemos $BP=13$ . El seguimiento de los ángulos rectos y de los ángulos del cuadrado da $\triangle PAB\cong\triangle QBC$ , así que $CQ=BP=13$ .

Como $BP\perp CQ$ , el punto $R$ es el pie de la altura desde $B$ hacia la hipotenusa $CQ$ del triángulo rectángulo $BQC$ . Así $QR\cdot RC=BR^2=36$ y $QR+RC=CQ=13.$

Entonces $QR$ y $RC$ son $4$ y $9$ . Según el diagrama $RC=9$ , y por lo tanto $\begin{aligned} BC^2&=BR^2+RC^2\\ &=6^2+9^2\\ &=117. \end{aligned}$

El área del cuadrado es $117$ .

Por lo tanto, la respuesta es D.

Since $BR=6$ and $PR=7$ , we have $BP=13$ . The right-angle and square-angle chasing gives $\triangle PAB\cong\triangle QBC$ , so $CQ=BP=13$ .

Because $BP\perp CQ$ , point $R$ is the foot of the altitude from $B$ to the hypotenuse $CQ$ of right triangle $BQC$ . Thus $QR\cdot RC=BR^2=36$ and $QR+RC=CQ=13.$

So $QR$ and $RC$ are $4$ and $9$ . From the diagram $RC=9$ , and therefore $\begin{aligned} BC^2&=BR^2+RC^2\\ &=6^2+9^2\\ &=117. \end{aligned}$

The area of the square is $117$ .

Thus, the answer is D .

2021 AMC 10B Fall Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años