Question

¿Cuál es el menor entero positivo $m$ tal que $m \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! \cdots 16!$ sea un cuadrado perfecto?

What is the least positive integer $m$ such that $m \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! \cdots 16!$ is a perfect square?

$30$

$30030$

$70$

$1430$

$1001$

Solución:

Agrupa el producto como $(2!\,3!)(4!\,5!)\cdots(14!\,15!)\cdot 16!.$ Como $(2k)!(2k+1)!$ $= \bigl((2k)!\bigr)^2(2k+1),$ cada par es un cuadrado perfecto por un número impar. Esos números impares $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15$ se multiplican dando $3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13,$ con parte libre de cuadrados $7 \cdot 11 \cdot 13.$ Y $16! = 2^{15} 3^6 5^3 7^2 \cdot 11 \cdot 13$ tiene parte libre de cuadrados $2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13.$ Multiplica ambas: la parte libre de cuadrados de todo el producto es $2 \cdot 5 \cdot 7.$ Ese es el menor $m,$ a saber $2 \cdot 5 \cdot 7 = 70.$ Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Group the product as $(2!\,3!)(4!\,5!)\cdots(14!\,15!)\cdot 16!.$ Since $(2k)!(2k+1)!$ $= \bigl((2k)!\bigr)^2(2k+1),$ each pair is a perfect square times an odd number. Those odd numbers $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15$ multiply to $3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13,$ with squarefree part $7 \cdot 11 \cdot 13.$ And $16! = 2^{15} 3^6 5^3 7^2 \cdot 11 \cdot 13$ has squarefree part $2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13.$ Multiply the two: the squarefree part of the whole thing is $2 \cdot 5 \cdot 7.$ That's the smallest $m,$ namely $2 \cdot 5 \cdot 7 = 70.$ Thus, C is the correct answer.

2023 AMC 10B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años