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2023 AMC 10B Problema 15

Intenta el Problema 15 del 2023 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2023 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

¿Cuál es el menor entero positivo mm tal que m⋅2!⋅3!⋅4!⋅5!⋯16!m \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! \cdots 16! sea un cuadrado perfecto?
What is the least positive integer mm such that m⋅2!⋅3!⋅4!⋅5!⋯16!m \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! \cdots 16! is a perfect square?
3030
3003030030
7070
14301430
10011001
Respuesta: C
Conceptos:cuadrado perfectofactorización en primosfactorialemparejamiento y agrupación
Nivel de dificultad: 1730
Pista pequeña:
Empareja los factoriales: (2k)!⋅(2k+1)!(2k)! \cdot (2k+1)! =((2k)!)2(2k+1),= \bigl((2k)!\bigr)^2 (2k+1), un cuadrado por un número impar.
Pair the factorials: (2k)!⋅(2k+1)!(2k)! \cdot (2k+1)! =((2k)!)2(2k+1),= \bigl((2k)!\bigr)^2 (2k+1), a square times an odd number
Pista grande:
Los factores impares sobrantes y 16!16! determinan qué primos aparecen a una potencia impar.
The leftover odd factors and 16!16! determine which primes appear to an odd power
Solución:
Agrupa el producto como (2! 3!)(4! 5!)⋯(14! 15!)⋅16!.(2!\,3!)(4!\,5!)\cdots(14!\,15!)\cdot 16!. Como (2k)!(2k+1)!(2k)!(2k+1)! =((2k)!)2(2k+1),= \bigl((2k)!\bigr)^2(2k+1), cada par es un cuadrado perfecto por un número impar. Esos números impares 3,5,7,9,11,13,153, 5, 7, 9, 11, 13, 15 se multiplican dando 34⋅52⋅7⋅11⋅13,3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13, con parte libre de cuadrados 7⋅11⋅13.7 \cdot 11 \cdot 13. Y 16!=215365372⋅11⋅1316! = 2^{15} 3^6 5^3 7^2 \cdot 11 \cdot 13 tiene parte libre de cuadrados 2⋅5⋅11⋅13.2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13. Multiplica ambas: la parte libre de cuadrados de todo el producto es 2⋅5⋅7.2 \cdot 5 \cdot 7. Ese es el menor m,m, a saber 2⋅5⋅7=70.2 \cdot 5 \cdot 7 = 70. Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
Group the product as (2! 3!)(4! 5!)⋯(14! 15!)⋅16!.(2!\,3!)(4!\,5!)\cdots(14!\,15!)\cdot 16!. Since (2k)!(2k+1)!(2k)!(2k+1)! =((2k)!)2(2k+1),= \bigl((2k)!\bigr)^2(2k+1), each pair is a perfect square times an odd number. Those odd numbers 3,5,7,9,11,13,153, 5, 7, 9, 11, 13, 15 multiply to 34⋅52⋅7⋅11⋅13,3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13, with squarefree part 7⋅11⋅13.7 \cdot 11 \cdot 13. And 16!=215365372⋅11⋅1316! = 2^{15} 3^6 5^3 7^2 \cdot 11 \cdot 13 has squarefree part 2⋅5⋅11⋅13.2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13. Multiply the two: the squarefree part of the whole thing is 2⋅5⋅7.2 \cdot 5 \cdot 7. That’s the smallest m,m, namely 2⋅5⋅7=70.2 \cdot 5 \cdot 7 = 70. Thus, C is the correct answer.
Problema 14#14
Examen completo
Problema 16#16

El Problema 15 en otros años

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