Question

¿Cuántos pares ordenados de enteros $(m, n)$ satisfacen la siguiente ecuación? $m^2 + mn + n^2 = m^2 n^2$

How many ordered pairs of integers $(m, n)$ satisfy the equation $m^2 + mn + n^2 = m^2 n^2?$

$7$

$1$

$3$

$6$

$5$

Solución:

Si $m = 0,$ la ecuación fuerza $n^2 = 0,$ dando $(0, 0).$ De lo contrario ambos son distintos de cero; supón $|m| \le |n|.$ Entonces $m^2 n^2 = m^2 + mn + n^2 \le 3n^2,$ así que $m^2 \le 3$ y $m = \pm 1.$ Toma $m = 1:$ $1 + n + n^2 = n^2$ da $n = -1.$ Toma $m = -1:$ $n = 1.$ Eso deja $(0,0), (1,-1), (-1,1),$ tres en total. Por lo tanto, la respuesta es C.

If $m = 0,$ the equation forces $n^2 = 0,$ giving $(0, 0).$ Otherwise both are nonzero; assume $|m| \le |n|.$ Then $m^2 n^2 = m^2 + mn + n^2 \le 3n^2,$ so $m^2 \le 3$ and $m = \pm 1.$ Take $m = 1:$ $1 + n + n^2 = n^2$ gives $n = -1.$ Take $m = -1:$ $n = 1.$ That leaves $(0,0), (1,-1), (-1,1),$ three in all. Therefore, the answer is C.

2023 AMC 10B Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años