Question

Supón que $S$ es un subconjunto de $\left\{ 1, 2, 3, \cdots , 25 \right\}$ tal que la suma de dos elementos cualesquiera (no necesariamente distintos) de $S$ nunca es un elemento de $S.$ ¿Cuál es el número máximo de elementos que $S$ puede contener?

Suppose that $S$ is a subset of $\left\{ 1, 2, 3, \cdots , 25 \right\}$ such that the sum of any two (not necessarily distinct) elements of $S$ is never an element of $S.$ What is the maximum number of elements $S$ may contain?

$\ 12$

$\ 13$

$\ 14$

$\ 15$

$\ 16$

Solución:

El conjunto $S = \{13,14 \cdots ,25\}$ tiene $13$ elementos, y todo par tiene suma mayor que 25, así que este tamaño es alcanzable.

Recíprocamente, sea $m$ el máximo elemento de $S$ . Para cada elemento de $S$ que cumple $i<m$ , el número $i$ y el número $m-i$ no pueden pertenecer ambos a $S$ .

Así, entre los números menores que $m$ , a lo sumo se puede elegir un número de cada par con suma $m$ ; si $m$ es par, tampoco se puede elegir el número central. Por lo tanto, a lo sumo $\lfloor \dfrac {m-1}2 \rfloor$ elementos son menores que $m$ , e incluyendo $m$ se obtienen a lo sumo $\lfloor \dfrac{m-1}2 \rfloor +1$ elementos.

El valor máximo de esto se da con $m=25,$ lo que produce $13.$

Así, la respuesta es B.

The set $S = \{13,14 \cdots ,25\}$ has $13$ elements, and every pair has sum greater than 25, so this size is attainable.

Conversely, let $m$ be the maximum element of $S$ . For every element of $S$ satisfying $i<m$ , the number $i$ and the number $m-i$ cannot both belong to $S$ .

Thus, among the numbers below $m$ , at most one number can be chosen from each pair with sum $m$ ; if $m$ is even, the middle number cannot be chosen either. Hence at most $\lfloor \dfrac {m-1}2 \rfloor$ elements lie below $m$ , and including $m$ gives at most $\lfloor \dfrac{m-1}2 \rfloor +1$ elements.

The maximum value of this has $m=25,$ yielding $13.$

Thus, the answer is B .

2022 AMC 10B Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años