Question

El lunes, Millie pone un cuarto de galón de semillas, de las cuales el $25\%$ es mijo, en un comedero para pájaros. Cada día siguiente añade otro cuarto de galón de la misma mezcla de semillas sin retirar las semillas que quedan. Cada día los pájaros comen solo el $25\%$ del mijo del comedero, pero comen todas las demás semillas. ¿En qué día, justo después de que Millie ha puesto las semillas, encontrarán los pájaros que más de la mitad de las semillas del comedero son mijo?

On Monday, Millie puts a quart of seeds, $25\%$ of which are millet, into a bird feeder. On each successive day she adds another quart of the same mix of seeds without removing any seeds that are left. Each day the birds eat only $25\%$ of the millet in the feeder, but they eat all of the other seeds. On which day, just after Millie has placed the seeds, will the birds find that more than half the seeds in the feeder are millet?

martes

Tuesday

miércoles

Wednesday

jueves

Thursday

viernes

Friday

sábado

Saturday

Solución:

Cada cuarto de galón añade $\dfrac14$ de cuarto de mijo, y los pájaros dejan $\dfrac34$ del mijo existente. En el día $n$ el mijo presente es $\begin{gathered} \dfrac14\left(1+\dfrac34+\cdots+\Big(\dfrac34\Big)^{n-1}\right) \\ = 1-\Big(\dfrac34\Big)^{n}. \end{gathered}$

Las demás semillas siempre suman $\dfrac34$ de cuarto de galón. El mijo supera la mitad cuando $1-\Big(\dfrac34\Big)^n\gt\dfrac34,$ es decir, $\Big(\dfrac34\Big)^n\lt\dfrac14.$

Como $\Big(\dfrac34\Big)^4=\dfrac{81}{256}\gt\dfrac14$ pero $\Big(\dfrac34\Big)^5=\dfrac{243}{1024}\lt\dfrac14,$ esto sucede por primera vez en el día $5,$ que es viernes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each quart adds $\dfrac14$ quart of millet, and the birds leave $\dfrac34$ of the standing millet. On day $n$ the millet present is $\begin{gathered} \dfrac14\left(1+\dfrac34+\cdots+\Big(\dfrac34\Big)^{n-1}\right) \\ = 1-\Big(\dfrac34\Big)^{n}. \end{gathered}$

The other seeds always total $\dfrac34$ quart. Millet exceeds half when $1-\Big(\dfrac34\Big)^n\gt\dfrac34,$ i.e. $\Big(\dfrac34\Big)^n\lt\dfrac14.$

Since $\Big(\dfrac34\Big)^4=\dfrac{81}{256}\gt\dfrac14$ but $\Big(\dfrac34\Big)^5=\dfrac{243}{1024}\lt\dfrac14,$ this first happens on day $5,$ which is Friday.

Thus, the correct answer is D.

2009 AMC 10B Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años