Question

La representación en base diez de $19!$ es $121,6T5,100,40M,832,H00,$ donde $T,$ $M,$ y $H$ denotan dígitos que no se dan. ¿Cuánto vale $T+M+H$ ?

The base-ten representation for $19!$ is $121,6T5,100,40M,832,H00,$ where $T,$ $M,$ and $H$ denote digits that are not given. What is $T+M+H?$

$3$

$8$

$12$

$14$

$17$

Solución:

Sabemos que $19!$ es múltiplo de $5^3$ y $2^3,$ así que es múltiplo de $1000.$ Por lo tanto, $H=0$ .

Sabemos que es múltiplo de $9,$ así que su suma de dígitos debe ser múltiplo de $9.$ De este modo, $1+2+1+6+T+5+1+$ $0+0+4+0+M+8$ $+3+2+0+0+0$ $=33+M+T$ es múltiplo de $9.$ Con esto en mente, sabemos que $M+T \equiv 3 \mod 9,$ lo que deja solo $3$ y $12.$

También sabemos que es múltiplo de $11,$ lo que significa que, al alternar entre sumar y restar dígitos, obtenemos que $1-2+1-6+T-5+1-$ $0+0-4+0-M+8-$ $3+2-0+0-0$ $= T-M-7$ es múltiplo de $11,$ así que $T-M \equiv 7 \mod 11.$

La única forma de satisfacer ambas es $T=4,M=8,H=0.$ Su suma es $12.$

Así, la respuesta es C.

We know $19!$ is a multiple of $5^3$ and $2^3,$ so it is a multiple of $1000.$ Therefore, $H=0$

We know it is a multiple of $9,$ so its digit sum must be a multiple of $9.$ As such, $1+2+1+6+T+5+1+$ $0+0+4+0+M+8$ $+3+2+0+0+0$ $=33+M+T$ is a multiple of $9.$ With this in mind, we know that $M+T \equiv 3 \mod 9,$ leaving just $3$ and $12.$

We also know it is a multiple of $11,$ which means that when alternating between adding and subtracting digits, we get $1-2+1-6+T-5+1-$ $0+0-4+0-M+8-$ $3+2-0+0-0$ $= T-M-7$ is a multiple of $11,$ so $T-M \equiv 7 \mod 11.$

The only way to satisfy both is $T=4,M=8,H=0.$ Their sum is $12.$

Thus, the answer is C .

2019 AMC 10B Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años