Question

Como se muestra en la figura de abajo, seis semicírculos están en el interior de un hexágono regular de lado 2, de modo que los diámetros de los semicírculos coinciden con los lados del hexágono. ¿Cuál es el área de la región sombreada, dentro del hexágono pero fuera de todos los semicírculos?

As shown in the figure below, six semicircles lie in the interior of a regular hexagon with side length 2 so that the diameters of the semicircles coincide with the sides of the hexagon. What is the area of the shaded region — inside the hexagon but outside all of the semicircles?

$6\sqrt3-3\pi$

$\dfrac{9\sqrt3}{2}-2\pi$

$\dfrac{3\sqrt3}{2}-\dfrac{\pi}{3}$

$3\sqrt3-\pi$

$\dfrac{9\sqrt3}{2}-\pi$

Solución:

Por simetría, la región sombreada está formada por seis piezas congruentes. Una de esas piezas es la unión de dos triángulos equiláteros de lado $1$ , menos un sector de $60^\circ$ de un círculo de radio $1$ .

Los dos triángulos equiláteros tienen área total $2\cdot\frac{\sqrt3}{4}=\frac{\sqrt3}{2}.$ El sector tiene área $\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot\pi(1)^2=\frac{\pi}{6}.$ Así, una pieza sombreada tiene área $\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{6}$ , y el área sombreada total es $6\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=3\sqrt3-\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By symmetry, the shaded region is made of six congruent pieces. One such piece is the union of two equilateral triangles with side length $1$ , minus a $60^\circ$ sector of a circle of radius $1$ .

The two equilateral triangles have total area $2\cdot\frac{\sqrt3}{4}=\frac{\sqrt3}{2}.$ The sector has area $\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot\pi(1)^2=\frac{\pi}{6}.$ Thus one shaded piece has area $\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{6}$ , and the total shaded area is $6\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=3\sqrt3-\pi.$

Thus, D is the correct answer.

2020 AMC 10B Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años