Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

2008 AMC 10B Problema 14

Intenta el Problema 14 del 2008 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2008 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

14.

El triángulo OABOAB tiene O=(0,0),O=(0,0), B=(5,0),B=(5,0), y AA en el primer cuadrante. Además, ∠ABO=90∘\angle ABO=90^\circ y ∠AOB=30∘.\angle AOB=30^\circ. Supón que OA‾\overline{OA} se rota 90∘90^\circ en sentido antihorario alrededor de O.O. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen de AA?
Triangle OABOAB has O=(0,0),O=(0,0), B=(5,0),B=(5,0), and AA in the first quadrant. In addition, ∠ABO=90∘\angle ABO=90^\circ and ∠AOB=30∘.\angle AOB=30^\circ. Suppose that OA‾\overline{OA} is rotated 90∘90^\circ counterclockwise about O.O. What are the coordinates of the image of A?A?
(−1033, 5)\left(-\dfrac{10}{3}\sqrt{3},\,5\right)
(−533, 5)\left(-\dfrac{5}{3}\sqrt{3},\,5\right)
(3, 5)\left(\sqrt{3},\,5\right)
(533, 5)\left(\dfrac{5}{3}\sqrt{3},\,5\right)
(1033, 5)\left(\dfrac{10}{3}\sqrt{3},\,5\right)
Respuesta: B
Conceptos:geometría analíticatransformacióntriángulo rectángulo especial
Nivel de dificultad: 1370
Pista pequeña:
Halla AA primero: AB=OBtan⁡30∘AB=OB\tan 30^\circ ya que el ángulo recto está en BB.
Find AA first: AB=OBtan⁡30∘AB=OB\tan 30^\circ since the right angle is at BB
Pista grande:
Una rotación de 90∘90^\circ en sentido antihorario lleva (x,y)(x,y) a (−y,x)(-y,x).
A 90∘90^\circ counterclockwise rotation sends (x,y)(x,y) to (−y,x)(-y,x)
Solución:
Como ∠ABO=90∘,\angle ABO=90^\circ, el segmento ABAB es vertical, así que A=(5, 5tan⁡30∘)=(5, 533).A=\left(5,\,5\tan 30^\circ\right)=\left(5,\,\tfrac{5\sqrt3}{3}\right).
Una rotación de 90∘90^\circ en sentido antihorario alrededor del origen lleva (x,y)(x,y) a (−y,x),(-y,x), así que la imagen de AA es (−533, 5).\left(-\tfrac{5\sqrt3}{3},\,5\right).
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Because ∠ABO=90∘,\angle ABO=90^\circ, segment ABAB is vertical, so A=(5, 5tan⁡30∘)=(5, 533).A=\left(5,\,5\tan 30^\circ\right)=\left(5,\,\tfrac{5\sqrt3}{3}\right).
A 90∘90^\circ counterclockwise rotation about the origin sends (x,y)(x,y) to (−y,x),(-y,x), so the image of AA is (−533, 5).\left(-\tfrac{5\sqrt3}{3},\,5\right).
Thus, the correct answer is B.
Problema 13#13
Examen completo
Problema 15#15

El Problema 14 en otros años

2000 AMC 10 · 2001 AMC 10 · 2002 AMC 10A · 2002 AMC 10B · 2003 AMC 10A · 2003 AMC 10B · 2004 AMC 10A · 2004 AMC 10B · 2005 AMC 10A · 2005 AMC 10B · 2006 AMC 10A · 2006 AMC 10B · 2007 AMC 10A · 2007 AMC 10B · 2008 AMC 10A · 2009 AMC 10A · 2009 AMC 10B · 2010 AMC 10A · 2010 AMC 10B · 2011 AMC 10A · 2011 AMC 10B · 2012 AMC 10A · 2012 AMC 10B · 2013 AMC 10A · 2013 AMC 10B · 2014 AMC 10A · 2014 AMC 10B · 2015 AMC 10A · 2015 AMC 10B · 2016 AMC 10A · 2016 AMC 10B · 2017 AMC 10A · 2017 AMC 10B · 2018 AMC 10A · 2018 AMC 10B · 2019 AMC 10A · 2019 AMC 10B · 2020 AMC 10A · 2020 AMC 10B · 2021 AMC 10A Spring · 2021 AMC 10B Spring · 2021 AMC 10A Fall · 2021 AMC 10B Fall · 2022 AMC 10A · 2022 AMC 10B · 2023 AMC 10A · 2023 AMC 10B · 2024 AMC 10A · 2024 AMC 10B · 2025 AMC 10A · 2025 AMC 10B