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2010 AMC 10A Problema 14

Intenta el Problema 14 del 2010 AMC 10A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2010 AMC 10A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

14.

El triángulo ABCABC tiene AB=2⋅AC.AB=2 \cdot AC. Sean DD y EE puntos en AB‾\overline{AB} y BC‾,\overline{BC}, respectivamente, tales que ∠BAE=∠ACD.\angle BAE = \angle ACD. Sea FF la intersección de los segmentos AEAE y CD,CD, y supón que △CFE\triangle CFE es equilátero. ¿Cuánto vale ∠ACB\angle ACB?
Triangle ABCABC has AB=2⋅AC.AB=2 \cdot AC. Let DD and EE be on AB‾\overline{AB} and BC‾,\overline{BC}, respectively, such that ∠BAE=∠ACD.\angle BAE = \angle ACD. Let FF be the intersection of segments AEAE and CD,CD, and suppose that △CFE\triangle CFE is equilateral. What is ∠ACB?\angle ACB?
60∘60^\circ
75∘75^\circ
90∘90^\circ
105∘105^\circ
120∘120^\circ
Respuesta: C
Conceptos:persecución de ángulostriángulo equiláterotriángulo rectángulo especial
Nivel de dificultad: 1660
Pista pequeña:
Sea ∠BAE=∠ACD=x\angle BAE=\angle ACD=x.
Let ∠BAE=∠ACD=x\angle BAE=\angle ACD=x
Pista grande:
Usa △CFE\triangle CFE para hallar ∠AFC\angle AFC y luego sigue las relaciones entre los ángulos para obtener ∠BAC\angle BAC.
Use △CFE\triangle CFE to find ∠AFC\angle AFC, then angle-chase ∠BAC\angle BAC
Solución:
Sea ∠BAE=∠ACD=x.\angle BAE = \angle ACD = x. Nota que ∠CFE=60∘\angle CFE = 60^{\circ} ya que △CFE\triangle CFE es equilátero.
Entonces tenemos que ∠AFC=180∘−∠CFE=120∘. \angle AFC = 180^{\circ} - \angle CFE = 120^{\circ}.
Luego: ∠FAC=180∘−120∘−x=60∘−x=∠EAC.\begin{aligned} \angle FAC &= 180^{\circ} - 120^{\circ} - x\\ &=60^{\circ} - x \\ &= \angle EAC.\end{aligned}
De esto obtenemos ∠BAC=∠BAE+∠EAC=x+60∘−x=60∘. \begin{aligned} \angle BAC &= \angle BAE + \angle EAC\\ &= x + 60^{\circ} - x \\&= 60^{\circ}. \end{aligned}
Como AB=2⋅ACAB = 2 \cdot AC y ∠BAC=60∘,\angle BAC = 60^{\circ}, tenemos que △ABC\triangle ABC es un triángulo 30−60−9030-60-90.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
Let ∠BAE=∠ACD=x.\angle BAE = \angle ACD = x. Note that ∠CFE=60∘\angle CFE = 60^{\circ} since △CFE\triangle CFE is equilateral.
We then have that ∠AFC=180∘−∠CFE=120∘. \angle AFC = 180^{\circ} - \angle CFE = 120^{\circ}.
Then: ∠FAC=180∘−120∘−x=60∘−x=∠EAC.\begin{aligned} \angle FAC &= 180^{\circ} - 120^{\circ} - x\\ &=60^{\circ} - x \\ &= \angle EAC.\end{aligned}
We then get that ∠BAC=∠BAE+∠EAC=x+60∘−x=60∘. \begin{aligned} \angle BAC &= \angle BAE + \angle EAC\\ &= x + 60^{\circ} - x \\&= 60^{\circ}. \end{aligned}
Since AB=2⋅ACAB = 2 \cdot AC and ∠BAC=60∘,\angle BAC = 60^{\circ}, we have that △ABC\triangle ABC is a 30−60−9030-60-90 triangle.
Thus, C is the correct answer.
Problema 13#13
Examen completo
Problema 15#15

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