Soluciones del 2010 AMC 10A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

El estante superior de Mary tiene cinco libros con los siguientes anchos, en centímetros: $6,$ $\dfrac{1}{2},$ $1,$ $2.5,$ y $10.$

¿Cuál es el ancho promedio de los libros, en centímetros?

Mary’s top book shelf holds five books with the following widths, in centimeters: $6,$ $\dfrac{1}{2},$ $1,$ $2.5,$ and $10.$

What is the average book width, in centimeters?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:media decimal

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Suma los anchos antes de dividir entre el número de libros.

Add the widths before dividing by the number of books

Pista grande:

Calcula $\left(6+\dfrac12+1+2.5+10\right)\div5$ .

Compute $\left(6+\dfrac12+1+2.5+10\right)\div5$

Solución:

Al sumar los cinco anchos se obtiene $6+\dfrac12+1+2.5+10=20.$ El promedio es $20\div5=4.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Adding the five widths gives $6+\dfrac12+1+2.5+10=20.$ The average is $20\div5=4.$

Thus, D is the correct answer.

2.

Cuatro cuadrados idénticos y un rectángulo se colocan juntos para formar un cuadrado grande, como se muestra. ¿Cuántas veces mayor es el largo del rectángulo que su ancho?

Four identical squares and one rectangle are placed together to form one large square as shown. The length of the rectangle is how many times as large as its width?

$\dfrac{5}{4}$

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{3}{2}$

$2$

$3$

Conceptos:razón y proporción cuadrado (geometría)rectángulo

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Sea $s$ la longitud del lado de cada cuadrado pequeño.

Let each small square have side length $s$

Pista grande:

El rectángulo mide $4s$ de largo y es un cuadrado pequeño más corto que el cuadrado grande.

The rectangle is $4s$ long and one small square shorter than the large square

Solución:

Sin pérdida de generalidad, supongamos que los lados de los cuadrados miden $1.$

Esto significa que el largo del rectángulo es $4.$ También tenemos que el ancho debe ser $4 - 1 = 3.$

La razón buscada es entonces $\dfrac{4}{3}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

WLOG, let the side lengths of the squares be $1.$

This means that the length of the rectangle is $4.$ We also have that the width must be $4 - 1 = 3.$

The desired ratio is then $\dfrac{4}{3}.$

Thus, B is the correct answer.

3.

Tyrone tenía $97$ canicas y Eric tenía $11$ canicas. Luego Tyrone le dio a Eric algunas de sus canicas de modo que Tyrone terminó con el doble de canicas que Eric. ¿Cuántas canicas le dio Tyrone a Eric?

Tyrone had $97$ marbles and Eric had $11$ marbles. Tyrone then gave some of his marbles to Eric so that Tyrone ended with twice as many marbles as Eric. How many marbles did Tyrone give to Eric?

$3$

$13$

$18$

$25$

$29$

Conceptos:ecuación lineal razón y proporción

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

El número total de canicas permanece fijo.

The total number of marbles stays fixed

Pista grande:

Las cantidades finales están en la razón $2:1$ .

The final amounts are in the ratio $2:1$

Solución:

Sea $x$ el número de canicas con las que termina Eric. Entonces Tyrone termina con $2x.$

El número total de canicas es $97 + 11 = 108,$ así que $3x = 108$ $x = 36.$

Entonces Tyrone termina con $36 \cdot 2 = 72$ canicas. Esto significa que debe regalar $97 - 72 = 25$ canicas.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $x$ be the number of marbles that Eric ends up with. Then Tyrone ends up with $2x.$

The total number of marbles is $97 + 11 = 108,$ so $3x = 108$ $x = 36.$

Then, Tyrone ends up with $36 \cdot 2 = 72$ marbles. This means he has to give away $97 - 72 = 25$ marbles.

Thus, D is the correct answer.

4.

Un libro que se va a grabar en discos compactos tarda $412$ minutos en leerse en voz alta. Cada disco puede contener hasta $56$ minutos de lectura. Supón que se usa el menor número posible de discos y que cada disco contiene la misma duración de lectura. ¿Cuántos minutos de lectura contendrá cada disco?

A book that is to be recorded onto compact discs takes $412$ minutes to read aloud. Each disc can hold up to $56$ minutes of reading. Assume that the smallest possible number of discs is used and that each disc contains the same length of reading. How many minutes of reading will each disc contain?

$50.2$

$51.5$

$52.4$

$53.8$

$55.2$

Conceptos:divisibilidad estimación

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Determina el número mínimo de discos antes de promediar.

Determine the minimum number of discs before averaging

Pista grande:

$7$ discos contienen muy poco, mientras que $8$ discos son suficientes.

$7$ discs hold too little, while $8$ discs suffice

Solución:

Nota que $7 \cdot 56 = 392$ y $8 \cdot 56 = 448,$ lo que significa que el número mínimo de discos necesarios es $8.$

Entonces los minutos de lectura que contiene cada disco son $412 \div 8 = 51.5.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Note that $7 \cdot 56 = 392$ and $8 \cdot 56 = 448,$ which means that the minimum number of discs needed is $8.$

Then the minutes of reading that each disc contains is $412 \div 8 = 51.5.$

Thus, B is the correct answer.

5.

El área de un círculo cuya circunferencia es $24\pi$ es $k\pi.$ ¿Cuál es el valor de $k$ ?

The area of a circle whose circumference is $24\pi$ is $k\pi.$ What is the value of $k?$

$6$

$12$

$24$

$36$

$144$

Conceptos:circunferencia área del círculo

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Usa la circunferencia para hallar primero el radio.

Use the circumference to find the radius first

Pista grande:

A partir de $2\pi r=24\pi$ , el $k$ buscado es $r^2$ .

From $2\pi r=24\pi$ , the desired $k$ is $r^2$

Solución:

Recuerda que la fórmula para la circunferencia de un círculo es $2 \pi r.$ Entonces tenemos que $24\pi = 2\pi r$ $r = 12.$

El área de un círculo es $\pi r^2,$ así que tenemos $k \pi = \pi 12^2$ $k = 144.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Recall that the formula for the circumference of a circle is $2 \pi r.$ We then have that $24\pi = 2\pi r$ $r = 12.$

The area of a circle is $\pi r^2,$ so we have that $k \pi = \pi 12^2$ $k = 144.$

Thus, E is the correct answer.

6.

Para números positivos $x$ y $y$ , la operación $\spadesuit (x,y)$ se define como $\spadesuit (x,y) = x-\dfrac{1}{y}$ ¿Cuánto vale $\spadesuit (2,\spadesuit (2,2))$ ?

For positive numbers $x$ and $y$ the operation $\spadesuit (x,y)$ is defined as $\spadesuit (x,y) = x-\dfrac{1}{y}$ What is $\spadesuit (2,\spadesuit (2,2))?$

$\dfrac{2}{3}$

$1$

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{5}{3}$

$2$

Conceptos:operación personalizada fracción

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Evalúa primero la expresión interior con $\spadesuit$ .

Evaluate the inner $\spadesuit$ expression first

Pista grande:

$\spadesuit(2,2)=2-\dfrac12$ , luego usa eso como segundo dato de entrada.

$\spadesuit(2,2)=2-\dfrac12$ , then use that as the second input

Solución:

Al evaluar la expresión interior, obtenemos $\spadesuit (2, 2) = 2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}.$ Entonces tenemos $\spadesuit \left(2, \dfrac{3}{2}\right) = 2 - \dfrac{1}{\frac{3}{2}} = \dfrac{4}{3}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Evaluating the inner expression, we get $\spadesuit (2, 2) = 2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}.$ Then we have $\spadesuit \left(2, \dfrac{3}{2}\right) = 2 - \dfrac{1}{\frac{3}{2}} = \dfrac{4}{3}.$

Thus, C is the correct answer.

7.

Crystal tiene marcada una ruta para su carrera diaria. Comienza esta carrera dirigiéndose hacia el norte por una milla. Luego corre hacia el noreste por una milla, y después hacia el sureste por una milla. La última parte de su carrera la lleva en línea recta de regreso al punto donde comenzó. ¿Qué distancia, en millas, tiene esta última parte de su carrera?

Crystal has a running course marked out for her daily run. She starts this run by heading due north for one mile. She then runs northeast for one mile, then southeast for one mile. The last portion of her run takes her on a straight line back to where she started. How far, in miles, is this last portion of her run?

$1$

$\sqrt{2}$

$\sqrt{3}$

$2$

$2\sqrt{2}$

Conceptos:Teorema de Pitágoras vector

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Las componentes verticales del noreste y del sureste se cancelan.

The northeast and southeast vertical components cancel

Pista grande:

El desplazamiento neto tiene componente norte $1$ y componente este $\sqrt2$ .

The net displacement has north component $1$ and east component $\sqrt2$

Solución:

A partir del diagrama, vemos que la distancia recorrida es la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

Uno de los catetos es simplemente $1$ por correr hacia el norte. El otro cateto es $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2.$

La distancia final es entonces $\sqrt{\sqrt2^2 + 1^2} = \sqrt3.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

From the diagram, we see that the distance traveled is the hypotenuse of a right triangle.

One of the legs is just $1$ from running due north. The other leg is $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2.$

The final distance is then $\sqrt{\sqrt2^2 + 1^2} = \sqrt3.$

Thus, C is the correct answer.

8.

Tony trabaja $2$ horas al día y le pagan $\$0.50$ por hora por cada año completo de su edad. Durante un período de seis meses Tony trabajó $50$ días y ganó $\$630.$ ¿Cuántos años tenía Tony al final del período de seis meses?

Tony works $2$ hours a day and is paid $\$0.50$ per hour for each full year of his age. During a six month period Tony worked $50$ days and earned $\$630.$ How old was Tony at the end of the six month period?

$9$

$11$

$12$

$13$

$14$

Conceptos:edades tasa acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Calcula el total de horas trabajadas y el pago promedio por hora.

Compute the total hours worked and average hourly pay

Pista grande:

Divide el pago promedio por hora entre $\$0.50$ para obtener la edad promedio.

Divide the average hourly pay by $\$0.50$ to get the average age

Solución:

Tony trabajó $2\cdot50=100$ horas, así que su pago medio por hora fue $\$630\div100=\$6.30.$ Como su pago por hora es $\$0.50$ multiplicado por su edad en años cumplidos, su edad media durante los días trabajados fue $6.30\div0.50=12.6$ años. En seis meses su edad puede cambiar como máximo una vez, así que trabajó algunos días con $12$ años y otros con $13.$ Por tanto, tenía $13$ años al final del período.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Tony worked $2\cdot50=100$ hours, so his average hourly pay was $\$630\div100=\$6.30.$ Because his hourly pay is $\$0.50$ times his age in full years, his average age on the days he worked was $6.30\div0.50=12.6$ years. During a six-month period his age can change by at most one, so he must have worked some days at age $12$ and some at age $13.$ Thus he was $13$ at the end of the period.

Thus, D is the correct answer.

9.

Un palíndromo, como $83438,$ es un número que permanece igual cuando se invierten sus dígitos. Los números $x$ y $x + 32$ son palíndromos de tres y cuatro dígitos, respectivamente. ¿Cuál es la suma de los dígitos de $x$ ?

A palindrome, such as $83438,$ is a number that remains the same when its digits are reversed. The numbers $x$ and $x + 32$ are three-digit and four-digit palindromes, respectively. What is the sum of the digits of $x?$

$20$

$21$

$22$

$23$

$24$

Conceptos:palíndromo dígitos acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Acota el palíndromo de cuatro dígitos entre $1000$ y $1031$ .

Bound the four-digit palindrome between $1000$ and $1031$

Pista grande:

Encuentra el único palíndromo en ese intervalo, luego resta $32$ .

Find the only palindrome in that interval, then subtract $32$

Solución:

Nota que $x$ es a lo sumo $999.$ Esto significa que $x + 32$ tiene un máximo de $1031.$

De manera similar, tenemos que el valor mínimo de $x + 32$ es $1000.$

El único palíndromo en este rango es $1001,$ así que a eso equivale $x + 32$ .

Entonces $x + 32 = 1001$ $x = 969.$

La suma de los dígitos es entonces $9 + 6 + 9 = 24.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Note that $x$ is at most $999.$ This means that $x + 32$ has a maximum of $1031.$

Similarly, we have that the minimum value of $x + 32$ is $1000.$

The only palindrome in this range is $1001,$ so this is what $x + 32$ equals.

Then $x + 32 = 1001$ $x = 969.$

The sum of the digits is then $9 + 6 + 9 = 24.$

Thus, E is the correct answer.

10.

Marvin cumplió años un martes, $27$ de mayo, en el año bisiesto $2008.$ ¿En qué año caerá su cumpleaños por primera vez en sábado?

Marvin had a birthday on Tuesday, May $27$ in the leap year $2008.$ In what year will his birthday next fall on a Saturday?

$2011$

$2012$

$2013$

$2015$

$2017$

Conceptos:fecha y hora aritmética modular

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Cada año no bisiesto adelanta el día de la semana en $1$ .

Each non-leap year shifts the weekday forward by $1$

Pista grande:

Como el $27$ de mayo es posterior al día bisiesto, los años bisiestos lo adelantan en $2$ .

Since May $27$ is after leap day, leap years shift it forward by $2$

Solución:

En un año normal, $365 = 52 \cdot 7 + 1,$ así que una fecha dada avanza un día de la semana al año siguiente.

En un año bisiesto, el día de la semana se mueve dos hacia adelante ya que hay un día extra.

Entonces en $2009,$ este día cae en miércoles. En $2010,$ cae en jueves.

De manera similar, en $2011,$ cae en viernes. Sin embargo, en $2012,$ como es un año bisiesto, cae en domingo.

Ahora, durante los siguientes tres años, el día avanza uno. Entonces en $2016,$ avanza dos, cayendo en viernes.

Finalmente, en $2017,$ el día de la semana es sábado.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Note that on a normal year, we have that $365 = 52 \cdot 7 + 1,$ which means that for a specific day, it moves to the day after the next year.

On a leap year, the day of the week moves forward two since there is an extra day.

Then in $2009,$ this day falls on a Wednesday. In $2010,$ it falls on a Thursday.

Similarly, in $2011,$ it falls on a Friday. In $2012,$ however, since it is a leap year, it falls on a Sunday.

Now, for the next three years, the day moves forward one. Then in $2016,$ it moves forward two, landing on a Friday.

Finally, in $2017,$ the day of the week is a Saturday.

Thus, E is the correct answer.

11.

La longitud del intervalo de soluciones de la desigualdad $a \le 2x + 3 \le b$ es $10.$ ¿Cuánto vale $b - a$ ?

The length of the interval of solutions of the inequality $a \le 2x + 3 \le b$ is $10.$ What is $b - a?$

$6$

$10$

$15$

$20$

$30$

Conceptos:desigualdad ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Resuelve la desigualdad para los dos extremos de $x$ .

Solve the inequality for the two endpoints of $x$

Pista grande:

La longitud del intervalo es $\dfrac{b-3}{2}-\dfrac{a-3}{2}$ .

The interval length is $\dfrac{b-3}{2}-\dfrac{a-3}{2}$

Solución:

Al dividir la desigualdad en dos y resolver obtenemos $a \le 2x + 3$ $x \ge \dfrac{a - 3}{2}$ y $2x + 3 \le b$ $x \le \dfrac{b - 3}{2}.$

Por lo tanto, la longitud del intervalo de soluciones satisface $\dfrac{b - 3}{2} - \dfrac{a - 3}{2} = 10,$ que al simplificar da $(b - 3) - (a - 3) = 20$ $b - a = 20.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Splitting the inequality into two of them and solving gives us $a \le 2x + 3$ $x \ge \dfrac{a - 3}{2}$ and $2x + 3 \le b$ $x \le \dfrac{b - 3}{2}.$

The range of the solutions is then $\dfrac{b - 3}{2} - \dfrac{a - 3}{2} = 10,$ which then simplifying gives us $(b - 3) - (a - 3) = 20$ $b - a = 20.$

Thus, D is the correct answer.

12.

Logan está construyendo un modelo a escala de su pueblo. La torre de agua de la ciudad mide $40$ metros de alto, y la parte superior es una esfera que contiene $100{,}000$ litros de agua. La torre de agua en miniatura de Logan contiene $0.1$ litros. ¿Qué altura, en metros, debe darle Logan a su torre?

Logan is constructing a scaled model of his town. The city’s water tower stands $40$ meters high, and the top portion is a sphere that holds $100{,}000$ liters of water. Logan’s miniature water tower holds $0.1$ liters. How tall, in meters, should Logan make his tower?

$0.04$

$\dfrac{0.4}{\pi}$

$0.4$

$\dfrac{4}{\pi}$

$4$

Conceptos:escalamiento de potencias de longitud, área y volumen razón y proporción

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

La escala de volumen es el cubo de la escala de longitud.

Volume scale is the cube of length scale

Pista grande:

Compara $0.1$ litros con $100000$ litros, luego toma una raíz cúbica.

Compare $0.1$ liters to $100000$ liters, then take a cube root

Solución:

La torre real contiene $\dfrac{100,000}{0.1} = 1,000,000$ veces más agua que la torre en miniatura. Como esta es una razón de volúmenes, la razón de las alturas es $(1,000,000)^{\frac{1}{3}} = 100.$ Por lo tanto, la altura de la torre en miniatura, en metros, es $\dfrac{40}{100} = 0.4.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The miniature tower holds $\dfrac{100,000}{0.1} = 1,000,000$ times less water than the actual tower. Since this is the ratio for volumes, the ratio of heights is $(1,000,000)^{\frac{1}{3}} = 100.$ This means that the height of the miniature tower is $\dfrac{40}{100} = 0.4.$

Thus, C is the correct answer.

13.

Angelina condujo a una velocidad promedio de $80$ km/h y luego se detuvo $20$ minutos para cargar gasolina. Después de la parada, condujo a una velocidad promedio de $100$ km/h. En total condujo $250$ km en un tiempo total de viaje de $3$ horas incluyendo la parada. ¿Cuál ecuación podría usarse para hallar el tiempo $t$ en horas que condujo antes de su parada?

Angelina drove at an average rate of $80$ kph and then stopped $20$ minutes for gas. After the stop, she drove at an average rate of $100$ kph. Altogether she drove $250$ km in a total trip time of $3$ hours including the stop. Which equation could be used to solve for the time $t$ in hours that she drove before her stop?

$80t + 100\left(\dfrac83 - t\right) = 250$

$80t = 250$

$100t = 250$

$90t = 250$

$80\left(\dfrac83 - t\right) + 100t = 250$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Resta la parada de $20$ minutos del tiempo total.

Subtract the $20$ -minute stop from the total time

Pista grande:

Después de la parada, ella conduce durante $3-\dfrac13-t$ horas.

After the stop, she drives for $3-\dfrac13-t$ hours

Solución:

Antes de la parada, Angelina condujo $80t$ km.

La parada dura $\frac{1}{3}$ de hora, así que su tiempo total de conducción es $3-\frac13=\frac83$ horas; después de la parada, conduce durante $\frac83-t$ horas, recorriendo $100\left(\frac83-t\right)$ km.

La ecuación de la distancia total es $80t+100\left(\frac83-t\right)=250.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Before the stop, Angelina drove $80t$ km.

The stop takes $\frac{1}{3}$ of an hour, so her total driving time is $3-\frac13=\frac83$ hours. After the stop, she drives for $\frac83-t$ hours, covering $100\left(\frac83-t\right)$ km.

The total distance equation is $80t+100\left(\frac83-t\right)=250.$

Thus, A is the correct answer.

14.

El triángulo $ABC$ tiene $AB=2 \cdot AC.$ Sean $D$ y $E$ puntos en $\overline{AB}$ y $\overline{BC},$ respectivamente, tales que $\angle BAE = \angle ACD.$ Sea $F$ la intersección de los segmentos $AE$ y $CD,$ y supón que $\triangle CFE$ es equilátero. ¿Cuánto vale $\angle ACB$ ?

Triangle $ABC$ has $AB=2 \cdot AC.$ Let $D$ and $E$ be on $\overline{AB}$ and $\overline{BC},$ respectively, such that $\angle BAE = \angle ACD.$ Let $F$ be the intersection of segments $AE$ and $CD,$ and suppose that $\triangle CFE$ is equilateral. What is $\angle ACB?$

$60^\circ$

$75^\circ$

$90^\circ$

$105^\circ$

$120^\circ$

Conceptos:persecución de ángulos triángulo equilátero triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Sea $\angle BAE=\angle ACD=x$ .

Let $\angle BAE=\angle ACD=x$

Pista grande:

Usa $\triangle CFE$ para hallar $\angle AFC$ y luego sigue las relaciones entre los ángulos para obtener $\angle BAC$ .

Use $\triangle CFE$ to find $\angle AFC$ , then angle-chase $\angle BAC$

Solución:

Sea $\angle BAE = \angle ACD = x.$ Nota que $\angle CFE = 60^{\circ}$ ya que $\triangle CFE$ es equilátero.

Entonces tenemos que $\angle AFC = 180^{\circ} - \angle CFE = 120^{\circ}.$

Luego: $\begin{aligned} \angle FAC &= 180^{\circ} - 120^{\circ} - x\\ &=60^{\circ} - x \\ &= \angle EAC.\end{aligned}$

De esto obtenemos $\begin{aligned} \angle BAC &= \angle BAE + \angle EAC\\ &= x + 60^{\circ} - x \\&= 60^{\circ}. \end{aligned}$

Como $AB = 2 \cdot AC$ y $\angle BAC = 60^{\circ},$ tenemos que $\triangle ABC$ es un triángulo $30-60-90$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $\angle BAE = \angle ACD = x.$ Note that $\angle CFE = 60^{\circ}$ since $\triangle CFE$ is equilateral.

We then have that $\angle AFC = 180^{\circ} - \angle CFE = 120^{\circ}.$

Then: $\begin{aligned} \angle FAC &= 180^{\circ} - 120^{\circ} - x\\ &=60^{\circ} - x \\ &= \angle EAC.\end{aligned}$

We then get that $\begin{aligned} \angle BAC &= \angle BAE + \angle EAC\\ &= x + 60^{\circ} - x \\&= 60^{\circ}. \end{aligned}$

Since $AB = 2 \cdot AC$ and $\angle BAC = 60^{\circ},$ we have that $\triangle ABC$ is a $30-60-90$ triangle.

Thus, C is the correct answer.

15.

En un pantano mágico hay dos especies de anfibios parlantes: los sapos, cuyas afirmaciones siempre son verdaderas, y las ranas, cuyas afirmaciones siempre son falsas. Cuatro anfibios, Brian, Chris, LeRoy y Mike, viven juntos en este pantano y hacen las siguientes afirmaciones.

Brian: “Mike y yo somos de especies diferentes.”

Chris: “LeRoy es una rana.”

LeRoy: “Chris es una rana.”

Mike: “De los cuatro, al menos dos somos sapos.”

¿Cuántos de estos cuatro anfibios son ranas?

In a magical swamp there are two species of talking amphibians: toads, whose statements are always true, and frogs, whose statements are always false. Four amphibians, Brian, Chris, LeRoy, and Mike live together in this swamp, and they make the following statements.

Brian: “Mike and I are different species.”

Chris: “LeRoy is a frog.”

LeRoy: “Chris is a frog.”

Mike: “Of the four of us, at least two are toads.”

How many of these four amphibians are frogs?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:veraces y mentirosos deducción lógica

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Chris y LeRoy no pueden ser de la misma especie.

Chris and LeRoy cannot have the same species

Pista grande:

Si Brian fuera un sapo, la afirmación de Mike generaría una contradicción.

If Brian were a toad, Mike’s statement would create a contradiction

Solución:

Chris y LeRoy no pueden ser ambos ranas, porque entonces las dos afirmaciones serían verdaderas. Tampoco pueden ser ambos sapos, porque entonces las dos afirmaciones serían falsas. Por lo tanto, exactamente uno de ellos es un sapo.

Si Brian fuera un sapo, su afirmación haría que Mike fuera una rana. Brian y el sapo entre Chris y LeRoy harían entonces verdadera la afirmación de Mike, lo cual es imposible para una rana. Por lo tanto, Brian es una rana. Su afirmación es falsa, así que Mike también es una rana. Junto con la rana entre Chris y LeRoy, hay $3$ ranas.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Chris and LeRoy cannot both be frogs, because then both of their statements would be true. They cannot both be toads either, because then both statements would be false. Thus exactly one of them is a toad.

If Brian were a toad, his statement would make Mike a frog. Brian and the one toad among Chris and LeRoy would then make Mike’s statement true, which is impossible for a frog. Therefore Brian is a frog. His statement is false, so Mike is also a frog. Along with the one frog among Chris and LeRoy, there are $3$ frogs.

Thus, D is the correct answer.

16.

El triángulo no degenerado $\triangle ABC$ tiene longitudes de lado enteras, $\overline{BD}$ es una bisectriz de ángulo, $AD = 3,$ y $DC = 8.$ ¿Cuál es el menor valor posible del perímetro?

Nondegenerate $\triangle ABC$ has integer side lengths, $\overline{BD}$ is an angle bisector, $AD = 3,$ and $DC = 8.$ What is the smallest possible value of the perimeter?

$30$

$33$

$35$

$36$

$37$

Conceptos:teorema de la bisectriz desigualdad triangular optimización

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Usa el Teorema de la Bisectriz.

Use the Angle Bisector Theorem

Pista grande:

$AB:BC=3:8$ , y $AC=11$ .

$AB:BC=3:8$ , and $AC=11$

Solución:

Usando el Teorema de la Bisectriz, tenemos que $\dfrac{AB}{3} = \dfrac{BC}{8}$ $AB = \dfrac{3}{8} BC.$

Para que $AB$ y $BC$ sean enteros, debemos tener que $BC$ sea múltiplo de $8.$

Para minimizar el perímetro, podemos poner $BC = 8$ y $AB = 3.$ Sin embargo, esto hace que el triángulo sea degenerado.

Entonces $BC$ debe ser $16$ y $AB = 6.$ Como $AC = AD + DC = 11,$ el perímetro es $16 + 6 + 11 = 33.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Using the Angle Bisector Theorem, we have that $\dfrac{AB}{3} = \dfrac{BC}{8}$ $AB = \dfrac{3}{8} BC.$

For $AB$ and $BC$ to be integers, we must have that $BC$ is a multiple of $8.$

To minimize the perimeter, we can set $BC = 8$ and $AB = 3.$ This, however, makes the triangle degenerate.

$BC$ must then be $16$ and $AB = 6.$ Since $AC = AD + DC = 11,$ the perimeter is $16 + 6 + 11 = 33.$

Thus, B is the correct answer.

17.

Un cubo sólido tiene longitud de lado $3$ pulgadas. Se corta un agujero cuadrado de $2$ pulgadas por $2$ pulgadas en el centro de cada cara. Los bordes de cada corte son paralelos a los bordes del cubo, y cada agujero atraviesa por completo el cubo. ¿Cuál es el volumen, en pulgadas cúbicas, del sólido restante?

A solid cube has side length $3$ inches. A $2$ -inch by $2$ -inch square hole is cut into the center of each face. The edges of each cut are parallel to the edges of the cube, and each hole goes all the way through the cube. What is the volume, in cubic inches, of the remaining solid?

$7$

$8$

$10$

$12$

$15$

Conceptos:volumen inclusión-exclusión Geometría 3D

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Usa inclusión-exclusión para los tres agujeros rectangulares.

Use inclusion-exclusion for the three rectangular holes

Pista grande:

Los tres agujeros $2\times2\times3$ se superponen en el cubo central $2\times2\times2$ .

The three $2\times2\times3$ holes overlap in the central $2\times2\times2$ cube

Solución:

Nota que todos los sólidos extraídos se intersecan en el centro del cubo.

Esta región de intersección es un cubo con longitud de lado $2.$ Entonces el volumen de la región extraída es $\begin{aligned}3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2^3 &= 36 - 16 \\&= 20.\end{aligned}$

Tenemos que restar la región central dos veces ya que está incluida en las $3$ regiones.

El volumen restante es entonces $3^3 - 20 = 27 - 20 = 7.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Note that all the cut out solids intersect in the middle of the cube.

This region of intersection is a cube with side length $2.$ Then the volume of the cutout region is $\begin{aligned}3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2^3 &= 36 - 16 \\&= 20.\end{aligned}$

We have to subtract out the center region twice since it is included in all $3$ regions.

The remaining volume is then $3^3 - 20 = 27 - 20 = 7.$

Thus, A is the correct answer.

18.

Bernardo elige al azar $3$ números distintos del conjunto $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ y los ordena de mayor a menor para formar un número de $3$ cifras. Silvia elige al azar $3$ números distintos del conjunto $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ y también los ordena de mayor a menor para formar un número de $3$ cifras. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de Bernardo sea mayor que el número de Silvia?

Bernardo randomly picks $3$ distinct numbers from the set $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ and arranges them in descending order to form a $3$ -digit number. Silvia randomly picks $3$ distinct numbers from the set $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ and also arranges them in descending order to form a $3$ -digit number. What is the probability that Bernardo’s number is larger than Silvia’s number?

$\dfrac{47}{72}$

$\dfrac{37}{56}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{49}{72}$

$\dfrac{39}{56}$

Conceptos:probabilidad básica análisis por casos simetría

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Separa en casos según si Bernardo elige $9$ .

Separate cases according to whether Bernardo picks $9$

Pista grande:

Sin un $9$ , los dos números son simétricos excepto cuando los conjuntos elegidos coinciden.

Without a $9$ , the two numbers are symmetric except when the chosen sets match

Solución:

Hay dos casos: Bernardo elige un $9$ o no lo hace.

Caso $1:$ Bernardo elige un $9$

Como un número está fijo, hay $\binom{8}{2} = 28$ maneras de elegir los otros dos números.

Hay un total de $\binom{9}{3} = 84$ maneras de elegir los tres números. La probabilidad es entonces $\dfrac{28}{84} = \dfrac{1}{3}.$

Nota que si Bernardo elige un $9,$ automáticamente tiene un número mayor que Silvia.

Esto significa que Bernardo siempre gana en este caso.

Caso $2:$ Bernardo no elige un $9$

Hay una probabilidad de $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ de que esto ocurra. Como ambas personas eligen de los mismos números, tienen la misma probabilidad de ganar.

Todavía necesitamos encontrar la probabilidad de que los números sean iguales. La probabilidad de que Silvia elija los mismos números que Bernardo es $\dfrac{1}{\binom{8}{3}} = \dfrac{1}{56}.$ Por lo tanto, la probabilidad de que Bernardo obtenga un número mayor es $\dfrac{1 - \frac{1}{56}}{2} = \dfrac{55}{112}.$

La probabilidad total de que Bernardo obtenga un número mayor es entonces $\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{55}{112} = \dfrac{37}{56}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

There are two cases: Bernardo picks a $9$ or he doesn’t.

Case $1:$ Bernardo picks a $9$

Since a number is fixed, there are $\binom{8}{2} = 28$ ways to choose the other two numbers.

There are a total of $\binom{9}{3} = 84$ ways to pick all three numbers. The probability is then $\dfrac{28}{84} = \dfrac{1}{3}.$

Note that if Bernardo picks a $9,$ he automatically has a greater number than Silvia.

This means that Bernardo always wins in this case.

Case $2:$ Bernardo doesn’t pick a $9$

There is a $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ chance of this happening. Since both people are choosing from the same numbers, they have an equal chance of winning.

We still need to find the probability that the numbers are the same. There is a $\dfrac{1}{\binom{8}{3}} = \dfrac{1}{56}$ chance that Silvia chooses the same numbers as Bernardo. The probability that Bernardo gets a higher number is then $\dfrac{1 - \frac{1}{56}}{2} = \dfrac{55}{112}.$

The total probability of Bernardo getting a higher number is then $\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{55}{112} = \dfrac{37}{56}.$

Thus, B is the correct answer.

19.

El hexágono equiangular $ABCDEF$ tiene longitudes de lado $AB=CD=EF=1$ y $BC=DE=FA=r.$ El área de $\triangle ACE$ es el $70\%$ del área del hexágono. ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $r$ ?

Equiangular hexagon $ABCDEF$ has side lengths $AB=CD=EF=1$ and $BC=DE=FA=r.$ The area of $\triangle ACE$ is $70\%$ of the area of the hexagon. What is the sum of all possible values of $r?$

$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{10}{3}$

$4$

$\dfrac{17}{4}$

$6$

Conceptos:polígono equiángulo razón de áreas ley de los cosenos Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Divide el hexágono en $\triangle ACE$ y tres triángulos en las esquinas.

Split the hexagon into $\triangle ACE$ and three corner triangles

Pista grande:

Expresa ambas áreas usando $r^2+r+1$ y $r$ .

Express both areas using $r^2+r+1$ and $r$

Solución:

Nota que $\triangle ACE$ es equilátero. Usando la Ley de Cosenos en $\triangle ABC,$ obtenemos $AC^2=r^2+1^2$ $-2r\cos120^\circ$ $=r^2+r+1.$

El área de $\triangle ACE$ es entonces $\dfrac{\sqrt3}{4} (r^2 + r + 1).$

Los tres triángulos de las esquinas $\triangle ABC,$ $\triangle CDE,$ y $\triangle EFA$ tienen cada uno área $\frac12\cdot1\cdot r\cdot\sin120^\circ=\frac{r\sqrt3}{4}.$

Así, el hexágono tiene área $\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+r+1)$ $+3\cdot\dfrac{r\sqrt3}{4}$ $=\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+4r+1).$

La condición $[ACE]=70\%\cdot[ABCDEF]$ da $r^2+r+1=\dfrac{7}{10}(r^2+4r+1),$ así que $r^2-6r+1=0.$

Por las fórmulas de Vieta, la suma de los valores posibles de $r$ es $6.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Note that $\triangle ACE$ is equilateral. Using the Law of Cosines in $\triangle ABC,$ we get $AC^2=r^2+1^2$ $-2r\cos120^\circ$ $=r^2+r+1.$

The area of $\triangle ACE$ is then $\dfrac{\sqrt3}{4} (r^2 + r + 1).$

The three corner triangles $\triangle ABC,$ $\triangle CDE,$ and $\triangle EFA$ each have area $\frac12\cdot1\cdot r\cdot\sin120^\circ=\frac{r\sqrt3}{4}.$

Thus the hexagon has area $\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+r+1)$ $+3\cdot\dfrac{r\sqrt3}{4}$ $=\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+4r+1).$

The condition $[ACE]=70\%\cdot[ABCDEF]$ gives $r^2+r+1=\dfrac{7}{10}(r^2+4r+1),$ so $r^2-6r+1=0.$

By Vieta’s formulas, the sum of the possible values of $r$ is $6.$

Thus, E is the correct answer.

20.

Una mosca atrapada dentro de una caja cúbica con longitud de lado $1$ metro decide aliviar su aburrimiento visitando cada esquina de la caja. Comenzará y terminará en la misma esquina y visitará cada una de las otras esquinas exactamente una vez. Para ir de una esquina a cualquier otra, volará o se arrastrará en línea recta. ¿Cuál es la longitud máxima posible, en metros, de su trayecto?

A fly trapped inside a cubical box with side length $1$ meter decides to relieve its boredom by visiting each corner of the box. It will begin and end in the same corner and visit each of the other corners exactly once. To get from a corner to any other corner, it will either fly or crawl in a straight line. What is the maximum possible length, in meters, of its path?

$4+4\sqrt{2}$

$2+4\sqrt{2}+2\sqrt{3}$

$2+3\sqrt{2}+3\sqrt{3}$

$4\sqrt{2}+4\sqrt{3}$

$3\sqrt{2}+5\sqrt{3}$

Conceptos:geometría del cubo teoría de grafos optimización

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Cada movimiento tiene longitud $1,\sqrt2,$ o $\sqrt3$ .

Each move has length $1,\sqrt2,$ or $\sqrt3$

Pista grande:

Solo hay $4$ diagonales espaciales, así que los movimientos restantes son a lo sumo diagonales de cara.

There are only $4$ space diagonals, so the remaining moves are at most face diagonals

Solución:

Nota que todos los trayectos que la mosca puede tomar tienen longitudes de $1, \sqrt2,$ o $\sqrt3.$

Solo hay $4$ diagonales espaciales en el cubo, así que a lo sumo $4$ movimientos pueden tener longitud $\sqrt3.$ Los otros $4$ movimientos tienen longitud a lo sumo $\sqrt2.$

Esta cota superior se puede alcanzar, por ejemplo alternando diagonales espaciales y diagonales de cara alrededor de los vértices.

El trayecto tiene longitud $4\sqrt2 + 4\sqrt3.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that all the paths the fly can take have lengths of $1, \sqrt2,$ or $\sqrt3.$

There are only $4$ space diagonals in the cube, so at most $4$ moves can have length $\sqrt3.$ The other $4$ moves have length at most $\sqrt2.$

This upper bound is attainable, for example by alternating space diagonals and face diagonals around the vertices.

The path has length $4\sqrt2 + 4\sqrt3.$

Thus, D is the correct answer.

21.

El polinomio $x^3-ax^2+bx-2010$ tiene tres ceros enteros positivos. ¿Cuál es el menor valor posible de $a$ ?

The polynomial $x^3-ax^2+bx-2010$ has three positive integer zeros. What is the smallest possible value of $a?$

$78$

$88$

$98$

$108$

$118$

Conceptos:Fórmulas de Vieta factorización en primos optimización

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Las raíces se multiplican para dar $2010$ y suman $a$ .

The roots multiply to $2010$ and sum to $a$

Pista grande:

Pon $67$ solo, luego divide $30$ en dos factores con la menor suma.

Put $67$ alone, then split $30$ into two factors with smallest sum

Solución:

Sean las raíces enteros positivos $r\le s\le t.$ Por las fórmulas de Vieta, $rst=2010$ y $a=r+s+t.$

Como $2010=2\cdot3\cdot5\cdot67,$ una raíz debe ser divisible por $67.$ Si esa raíz es mayor que $67,$ entonces es al menos $134,$ lo cual ya es peor que la construcción de abajo.

Así que toma $t=67$ y minimiza $r+s$ con $rs=30.$ El par de factores con menor suma es $5$ y $6,$ así que $a=5+6+67=78.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let the roots be positive integers $r\le s\le t.$ By Vieta’s formulas, $rst=2010$ and $a=r+s+t.$

Since $2010=2\cdot3\cdot5\cdot67,$ one root must be divisible by $67.$ If that root is larger than $67,$ then it is at least $134,$ which is already worse than the construction below.

Thus take $t=67$ and minimize $r+s$ with $rs=30.$ The factor pair with smallest sum is $5$ and $6,$ so $a=5+6+67=78.$

Thus, A is the correct answer.

22.

Se eligen ocho puntos en un círculo, y se trazan cuerdas conectando cada par de puntos. No hay tres cuerdas que se intersequen en un solo punto dentro del círculo. ¿Cuántos triángulos con los tres vértices en el interior del círculo se forman?

Eight points are chosen on a circle, and chords are drawn connecting every pair of points. No three chords intersect in a single point inside the circle. How many triangles with all three vertices in the interior of the circle are created?

$28$

$56$

$70$

$84$

$140$

Conceptos:conteo de intersecciones combinaciones biyección

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Elige los seis puntos del círculo que se usan como extremos de las tres cuerdas.

Choose the six circle points used as endpoints of the three chords

Pista grande:

Para seis puntos en orden, solo las tres cuerdas de pares opuestos forman el triángulo interior.

For six points in order, only the three opposite-pair chords make the interior triangle

Solución:

Un triángulo interior se forma por tres cuerdas que se intersecan por pares dentro del círculo. Tal triángulo usa seis extremos distintos en el círculo.

Recíprocamente, para cualesquiera seis puntos elegidos en orden circular, exactamente un conjunto de tres cuerdas empareja extremos opuestos de modo que las tres cuerdas se intersecan por pares dentro del círculo.

Por lo tanto, el número de triángulos es $\binom{8}{6}=\binom{8}{2}=28.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

An interior triangle is formed by three chords that pairwise intersect inside the circle. Such a triangle uses six distinct endpoints on the circle.

Conversely, for any six chosen points in circular order, exactly one set of three chords pairs opposite endpoints so that the three chords intersect pairwise inside the circle.

Therefore the number of triangles is $\binom{8}{6}=\binom{8}{2}=28.$

Thus, A is the correct answer.

23.

Cada una de $2010$ cajas en una fila contiene una sola canica roja, y para $1 \le k \le 2010,$ la caja en la $k$ -ésima posición también contiene $k$ canicas blancas. Isabella comienza en la primera caja y sucesivamente extrae una sola canica al azar de cada caja, en orden. Se detiene cuando extrae por primera vez una canica roja. Sea $P(n)$ la probabilidad de que Isabella se detenga después de extraer exactamente $n$ canicas. ¿Cuál es el menor valor de $n$ para el cual $P(n) \lt \dfrac{1}{2010}$ ?

Each of $2010$ boxes in a line contains a single red marble, and for $1 \le k \le 2010,$ the box in the $k$ th position also contains $k$ white marbles. Isabella begins at the first box and successively draws a single marble at random from each box, in order. She stops when she first draws a red marble. Let $P(n)$ be the probability that Isabella stops after drawing exactly $n$ marbles. What is the smallest value of $n$ for which $P(n) \lt \dfrac{1}{2010}?$

$45$

$63$

$64$

$201$

$1005$

Conceptos:probabilidad básica telescópica desigualdad

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Las primeras $n-1$ extracciones deben ser blancas, luego la $n$ -ésima extracción roja.

The first $n-1$ draws must be white, then the $n$ th draw red

Pista grande:

Las probabilidades de blanco se telescopan: $\dfrac12\cdot\dfrac23\cdots\dfrac{n-1}{n}$ .

The white probabilities telescope: $\dfrac12\cdot\dfrac23\cdots\dfrac{n-1}{n}$

Solución:

Como hay $k + 1$ canicas en la $k$ -ésima caja, hay una probabilidad de $\dfrac{k}{k + 1}$ de que Isabella extraiga una canica blanca de ella.

La probabilidad de extraer una canica roja es entonces $\dfrac{1}{k + 1}.$ Para detenerse después de extraer la $n$ -ésima canica, las primeras $n - 1$ canicas deben haber sido blancas.

Esto ocurre con una probabilidad de $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \ldots \cdot \dfrac{n - 1}{n} \cdot \dfrac{1}{n + 1}.$

Nota que todos los numeradores se cancelan con el denominador adyacente, lo que significa que esta expresión se reduce a $\dfrac{1}{n(n + 1)}.$

Tenemos que encontrar el menor $n$ tal que $\dfrac{1}{n(n + 1)} \lt \dfrac{1}{2010}$ $n(n + 1) \gt 2010.$

Probando y verificando obtenemos que el menor $n$ que funciona es $45.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Since there are $k + 1$ marbles in the $k$ th box, there is a $\dfrac{k}{k + 1}$ chance Isabella draws a white marble from it.

The probability of drawing a red marble is then $\dfrac{1}{k + 1}.$ To stop after drawing the $n$ th marble, the first $n - 1$ marbles must have been white.

This happens with a probability of $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \ldots \cdot \dfrac{n - 1}{n} \cdot \dfrac{1}{n + 1}.$

Note that all the numerators cancel with the adjacent denominator, which means that this expression reduces to $\dfrac{1}{n(n + 1)}.$

We have to find the smallest $n$ such that $\dfrac{1}{n(n + 1)} \lt \dfrac{1}{2010}$ $n(n + 1) \gt 2010.$

Guessing and checking gives us that the smallest $n$ that works is $45.$

Thus, A is the correct answer.

24.

El número obtenido a partir de los últimos dos dígitos distintos de cero de $90!$ es igual a $n.$ ¿Cuánto vale $n$ ?

The number obtained from the last two nonzero digits of $90!$ is equal to $n.$ What is $n?$

$12$

$32$

$48$

$52$

$68$

Conceptos:factorial aritmética modular Teorema chino del resto ceros finales

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Elimina los factores que producen los ceros finales, luego trabaja módulo $100$ .

Remove the factors making trailing zeroes, then work modulo $100$

Pista grande:

Usa congruencias módulo $4$ y módulo $25$ para determinar los dos últimos dígitos.

Use congruences modulo $4$ and modulo $25$ to pin down the last two digits

Solución:

El número de ceros finales en $90!$ es $\left\lfloor\dfrac{90}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{90}{25}\right\rfloor=21.$ Sea $N=\dfrac{90!}{10^{21}}.$

Todavía quedan más de dos factores de $2$ después de eliminar $10^{21},$ así que $N\equiv0 \pmod4.$

Sea $A$ el producto de los factores de $90!$ no divisibles entre $5,$ y sea $B$ el producto de los factores divisibles entre $5.$ Agrupando los residuos módulo $25$ se obtiene $A\equiv1\pmod{25}$ y $\dfrac{B}{5^{21}}\equiv-1\pmod{25}.$

Por lo tanto $\dfrac{90!}{5^{21}}\equiv-1\pmod{25}.$ Como $2^{21}\equiv2\pmod{25},$ $N=\dfrac{90!}{5^{21}\cdot2^{21}}$ $\equiv-13$ $\equiv12\pmod{25}.$

El número congruente con $0\pmod4$ y $12\pmod{25}$ es $12\pmod{100},$ así que los últimos dos dígitos distintos de cero forman $12.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The number of trailing zeroes in $90!$ is $\left\lfloor\dfrac{90}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{90}{25}\right\rfloor=21.$ Let $N=\dfrac{90!}{10^{21}}.$

There are still more than two factors of $2$ left after removing $10^{21},$ so $N\equiv0 \pmod4.$

Let $A$ be the product of factors of $90!$ not divisible by $5,$ and let $B$ be the product of the factors divisible by $5.$ Grouping residues modulo $25$ gives $A\equiv1\pmod{25}$ and $\dfrac{B}{5^{21}}\equiv-1\pmod{25}.$

Therefore $\dfrac{90!}{5^{21}}\equiv-1\pmod{25}.$ Since $2^{21}\equiv2\pmod{25},$ $N=\dfrac{90!}{5^{21}\cdot2^{21}}$ $\equiv-13$ $\equiv12\pmod{25}.$

The number congruent to $0\pmod4$ and $12\pmod{25}$ is $12\pmod{100},$ so the last two nonzero digits form $12.$

Thus, A is the correct answer.

25.

Jim comienza con un entero positivo $n$ y crea una sucesión de números. Cada número sucesivo se obtiene restando el mayor cuadrado entero posible menor o igual al número actual, hasta llegar a cero. Por ejemplo, si Jim comienza con $n = 55,$ entonces su sucesión contiene $5$ números: $\begin{array}{ccccc} {}&{}&{}&{}&55\\ 55&-&7^2&=&6\\ 6&-&2^2&=&2\\ 2&-&1^2&=&1\\ 1&-&1^2&=&0\\ \end{array}$ Sea $N$ el menor número para el cual la sucesión de Jim tiene $8$ números. ¿Cuál es el dígito de las unidades de $N$ ?

Jim starts with a positive integer $n$ and creates a sequence of numbers. Each successive number is obtained by subtracting the largest possible integer square less than or equal to the current number until zero is reached. For example, if Jim starts with $n = 55,$ then his sequence contains $5$ numbers: $\begin{array}{ccccc} {}&{}&{}&{}&55\\ 55&-&7^2&=&6\\ 6&-&2^2&=&2\\ 2&-&1^2&=&1\\ 1&-&1^2&=&0\\ \end{array}$ Let $N$ be the smallest number for which Jim’s sequence has $8$ numbers. What is the units digit of $N?$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Conceptos:cuadrado perfecto recursión trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Construye la menor sucesión posible hacia atrás a partir de $0$ .

Build the smallest possible sequence backwards from $0$

Pista grande:

En cada paso inverso, suma el menor cuadrado que la regla voraz restaría.

At each reverse step, add the smallest square that the greedy rule would subtract

Solución:

Podemos trabajar hacia atrás empezando con $0.$ A partir de esto, podemos sumar $1^2$ para obtener $1.$

Podemos sumar de nuevo $1^2$ para obtener $2.$ Otra vez, sumar $1^2$ nos da $3.$

Si sumamos $1^2$ ahora, obtenemos $4,$ pero entonces $1^2$ no es el mayor cuadrado menor o igual a $4.$

Entonces sumar $2^2$ nos da $7.$ Continuamos hacia atrás hasta que la sucesión directa tenga ocho términos, y obtenemos $7223.$

$\begin{array}{ccccc} {}&{}&{}&{}&7223\\ 7223&-&84^2&=&167\\ 167&-&12^2&=&23\\ 23&-&4^2&=&7\\ 7&-&2^2&=&3\\ 3&-&1^2&=&2\\2&-&1^2&=&1\\1&-&1^2&=&0\end{array}$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We can work backwards starting with $0.$ From this, we can add on $1^2$ to get $1.$

We can again add on $1^2$ to get $2.$ Again, adding on $1^2$ gives us $3.$

If we add on $1^2$ now, we get $4,$ but then $1^2$ is not the greatest square less than or equal to $4.$

Then adding on $2^2$ gives us $7.$ Continuing until there are eight terms in the forward sequence gives $7223.$

$\begin{array}{ccccc} {}&{}&{}&{}&7223\\ 7223&-&84^2&=&167\\ 167&-&12^2&=&23\\ 23&-&4^2&=&7\\ 7&-&2^2&=&3\\ 3&-&1^2&=&2\\2&-&1^2&=&1\\1&-&1^2&=&0\end{array}$

Thus, B is the correct answer.