Question

三角形 $ABC$ 满足 $AB=2 \cdot AC$ 。点 $D$ 和 $E$ 分别在 $\overline{AB}$ 和 $\overline{BC}$ 上，且 $\angle BAE = \angle ACD$ 。设 $F$ 为线段 $AE$ 和 $CD$ 的交点，并且 $\triangle CFE$ 是等边三角形。 $\angle ACB$ 是多少？

Triangle $ABC$ has $AB=2 \cdot AC.$ Let $D$ and $E$ be on $\overline{AB}$ and $\overline{BC},$ respectively, such that $\angle BAE = \angle ACD.$ Let $F$ be the intersection of segments $AE$ and $CD,$ and suppose that $\triangle CFE$ is equilateral. What is $\angle ACB?$

$60^\circ$

$75^\circ$

$90^\circ$

$105^\circ$

$120^\circ$

答案：C

知识点：导角等边三角形特殊直角三角形

难度评级：1660

小提示：

设 $\angle BAE=\angle ACD=x$ 。

Let $\angle BAE=\angle ACD=x$

大提示：

用 $\triangle CFE$ 求 $\angle AFC$ ，再追角求 $\angle BAC$ 。

Use $\triangle CFE$ to find $\angle AFC$ , then angle-chase $\angle BAC$

解答：

设 $\angle BAE = \angle ACD = x$ 。因为 $\triangle CFE$ 是等边三角形，所以 $\angle CFE = 60^{\circ}$ 。

因此 $\angle AFC = 180^{\circ} - \angle CFE = 120^{\circ}\text{。}$

因此 $\begin{aligned} \angle FAC &= 180^{\circ} - 120^{\circ} - x\\ &=60^{\circ} - x \\ &= \angle EAC\end{aligned}\text{。}$

于是 $\begin{aligned} \angle BAC &= \angle BAE + \angle EAC\\ &= x + 60^{\circ} - x \\&= 60^{\circ} \end{aligned}\text{。}$

由于 $AB = 2 \cdot AC$ 且 $\angle BAC = 60^{\circ}$ ， $\triangle ABC$ 是 $30-60-90$ 三角形。

所以正确答案是 C。

Let $\angle BAE = \angle ACD = x.$ Note that $\angle CFE = 60^{\circ}$ since $\triangle CFE$ is equilateral.

We then have that $\angle AFC = 180^{\circ} - \angle CFE = 120^{\circ}.$

Then: $\begin{aligned} \angle FAC &= 180^{\circ} - 120^{\circ} - x\\ &=60^{\circ} - x \\ &= \angle EAC.\end{aligned}$

We then get that $\begin{aligned} \angle BAC &= \angle BAE + \angle EAC\\ &= x + 60^{\circ} - x \\&= 60^{\circ}. \end{aligned}$

Since $AB = 2 \cdot AC$ and $\angle BAC = 60^{\circ},$ we have that $\triangle ABC$ is a $30-60-90$ triangle.

Thus, C is the correct answer.

2010 AMC 10A 第 14 题

答案：C

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

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