Question

从 $1\leq N \leq 2020$ 的整数中随机选一个整数 $N$ 。 $N^{16}$ 除以 $5$ 的余数为 $1$ 的概率是多少？

An integer $N$ is selected at random in the range $1\leq N \leq 2020$ . What is the probability that the remainder when $N^{16}$ is divided by $5$ is $1?$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{4}{5}$

$1$

答案：D

知识点：费马小定理模幂运算基本概率

难度评级：1370

小提示：

模 $5$ 时，只需要看 $N$ 是否能被 $5$ 整除。

Modulo $5$ , only whether $N$ is divisible by $5$ matters

大提示：

使用费马小定理，或直接检查模 $5$ 的剩余类。

Use Fermat’s little theorem or check residue classes modulo $5$

解答：

根据费马小定理，只要 $N$ 不能被 $5$ 整除，就有 $N^4\equiv1\pmod5$ 。因此 $N^{16}\equiv(N^4)^4\equiv1\pmod5\text{。}$

$5$ 的倍数共有 $\frac{2020}{5}=404$ 个，所以 $N$ 的可取值共有 $2020-404=1616$ 个。

$5$ 的倍数满足 $N^{16}\equiv0\pmod5$ ，所以其余的值都不符合要求。因此所求概率为 $\dfrac{1616}{2020}=\dfrac45\text{。}$

所以正确答案是 D。

By Fermat’s Little Theorem, $N^4\equiv1\pmod5$ whenever $N$ is not divisible by $5.$ Therefore, $N^{16}\equiv(N^4)^4\equiv1\pmod5.$

There are $\frac{2020}{5}=404$ multiples of $5,$ so there are $2020-404=1616$ allowable values of $N.$

A multiple of $5$ has $N^{16}\equiv0\pmod5,$ so no other values work. Thus the probability is $\dfrac{1616}{2020}=\dfrac45.$

Thus, the correct answer is D .

2017 AMC 10B 第 14 题

答案：D

难度评级：1370

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题