Question

设 $n$ 是最大的整数，正好是 $3$ 个不同质数 $d$ 、 $e$ 、 $10d + e$ 的乘积，其中 $d$ 和 $e$ 是一位数字。求 $n$ 的各位数字之和。

Let $n$ be the largest integer that is the product of exactly $3$ distinct prime numbers, $d,$ $e,$ and $10d + e,$ where $d$ and $e$ are single digits. What is the sum of the digits of $n?$

$12$

$15$

$18$

$21$

$24$

答案：A

知识点：质数数字系统列举

难度评级：1500

小提示：

一位质数为 $2$ 、 $3$ 、 $5$ 、 $7$ ，并且 $10d + e$ 也必须是质数。

The single-digit primes are $2,$ $3,$ $5,$ $7,$ and $10d + e$ must also be prime

大提示：

按 $d$ 从大到小检验候选数对，舍去使 $10d+e$ 为合数的数对。

Test candidate pairs in descending order of $d,$ discarding any pair for which $10d+e$ is composite

解答：

$d$ 和 $e$ 是集合 $\{2,3,5,7\}$ 中两个不同的元素，而且 $10d+e$ 也必须是质数。

从最大的十位数字开始。若 $d=7$ ，取 $e=5$ 或 $e=2$ 分别得到合数 $75$ 和 $72$ ，而取 $e=3$ 得到质数 $73$ 。于是 $n=7\cdot3\cdot73=1533$ 。

若 $d=5$ ，取 $e=7$ 或 $e=2$ 分别得到合数 $57$ 和 $52$ ，而取 $e=3$ 只能得到 $5\cdot3\cdot53=795$ 。所有 $d\le3$ 的情况都不超过 $3\cdot7\cdot37=777$ 。所以 $1533$ 是最大的有效值。

它的各位数字之和为 $1 + 5 + 3 + 3 = 12$ 。

所以正确答案是 A。

Both $d$ and $e$ are distinct members of $\{2,3,5,7\},$ and $10d+e$ must also be prime.

Start with the largest possible tens digit. For $d=7,$ the choices $e=5$ and $e=2$ give the composite numbers $75$ and $72,$ while $e=3$ gives the prime $73.$ This produces $n=7\cdot3\cdot73=1533.$

For $d=5,$ the choices $e=7$ and $e=2$ give the composite numbers $57$ and $52,$ while $e=3$ gives only $5\cdot3\cdot53=795.$ Every case with $d\le3$ is at most $3\cdot7\cdot37=777.$ Hence $1533$ is the largest valid value.

The sum of its digits is $1 + 5 + 3 + 3 = 12.$

Thus, the correct answer is A.

2003 AMC 10A 第 14 题

答案：A

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题