2003 AMC 10A 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

前 $2003$ 个正偶数的和与前 $2003$ 个正奇数的和相差多少？

What is the difference between the sum of the first $2003$ even counting numbers and the sum of the first $2003$ odd counting numbers?

$0$

$1$

$2$

$2003$

$4006$

知识点：求和配对与分组

难度评级：860

小提示：

将每个偶数与它前面的那个奇数配对。

Pair each even number with the odd number just below it

大提示：

$2003$ 对中的每一对都贡献差 $1$ 。

Each of the $2003$ pairs contributes a difference of $1$

解答：

第 $k$ 个正偶数 $2k$ 正好比第 $k$ 个正奇数 $2k-1$ 大 $1$ 。

对 $2003$ 对求和，差为 $2003 \cdot 1 = 2003$ 。

所以正确答案是 D。

The $k$ th even number $2k$ is exactly $1$ more than the $k$ th odd number $2k-1.$

Summing this difference over all $2003$ pairs gives $2003 \cdot 1 = 2003.$

Thus, the correct answer is D.

2.

罗克汉姆足球联赛的成员购买袜子和 T 恤。袜子每双 $\$4$ ，每件 T 恤比一双袜子贵 $\$5$ 。每位成员主场比赛需要一双袜子和一件 T 恤，客场比赛也需要一双袜子和一件 T 恤。如果总费用为 $\$2366$ ，联盟共有多少名成员？

Members of the Rockham Soccer League buy socks and T-shirts. Socks cost $\$4$ per pair and each T-shirt costs $\$5$ more than a pair of socks. Each member needs one pair of socks and a shirt for home games and another pair of socks and a shirt for away games. If the total cost is $\$2366,$ how many members are in the League?

$77$

$91$

$143$

$182$

$286$

知识点：钱币比与比例

难度评级：1050

小提示：

一件 T 恤价格为 $\$4 + \$5 = \$9$ 。

A T-shirt costs $\$4 + \$5 = \$9$

大提示：

每位成员需要两双袜子和两件 T 恤。

Each member needs two pairs of socks and two shirts

解答：

每件 T 恤价格为 $\$4 + \$5 = \$9$ 。

每位成员需要两双袜子和两件 T 恤，费用为 $2 \cdot 4 + 2 \cdot 9 = \$26$ 。

成员数为 $2366 \div 26 = 91$ 。

所以正确答案是 B。

Each T-shirt costs $\$4 + \$5 = \$9.$

Each member needs two pairs of socks and two shirts, costing $2 \cdot 4 + 2 \cdot 9 = \$26.$

The number of members is $2366 \div 26 = 91.$

Thus, the correct answer is B.

3.

一个实心长方体盒子的尺寸为 $15$ 厘米、 $10$ 厘米、 $8$ 厘米。从这个盒子的每个角切去一个边长 $3$ 厘米的立方体，形成一个新的立体。原体积的百分之多少被切去？

A solid box is $15$ cm by $10$ cm by $8$ cm. A new solid is formed by removing a cube $3$ cm on a side from each corner of this box. What percent of the original volume is removed?

$4.5$

$9$

$12$

$18$

$24$

知识点：体积百分数正方体

难度评级：1050

小提示：

每个被切去的立方体体积是 $3^3$ 。

Each removed cube has volume $3^3$

大提示：

有 $8$ 个角，原长方体体积为 $15 \cdot 10 \cdot 8$ 。

There are $8$ corners, and the original volume is $15 \cdot 10 \cdot 8$

解答：

被切去的八个立方体总体积为 $8 \cdot 3^3 = 216$ 立方厘米。

原盒子体积为 $15 \cdot 10 \cdot 8 = 1200$ 立方厘米。

切去的百分比为 $\dfrac{216}{1200} \cdot 100\% = 18\%$ 。

所以正确答案是 D。

The eight removed cubes have total volume $8 \cdot 3^3 = 216$ cubic centimeters.

The original box has volume $15 \cdot 10 \cdot 8 = 1200$ cubic centimeters.

The percent removed is $\dfrac{216}{1200} \cdot 100\% = 18\%.$

Thus, the correct answer is D.

4.

玛丽从家到学校上坡走 $1$ 千米需要 $30$ 分钟，但沿同一路线从学校回家只需 $10$ 分钟。她往返全程的平均速度是多少千米每小时？

It takes Mary $30$ minutes to walk uphill $1$ km from her home to school, but it takes her only $10$ minutes to walk from school to home along the same route. What is her average speed, in km/hr, for the round trip?

$3$

$3.125$

$3.5$

$4$

$4.5$

知识点：路程、速度与时间调和平均数

难度评级：1130

小提示：

平均速度是总路程除以总时间，不是两个速度的平均。

Average speed is total distance divided by total time, not the average of the two speeds

大提示：

她用 $30 + 10 = 40$ 分钟走了 $2$ 千米。

She covers $2$ km in $30 + 10 = 40$ minutes

解答：

玛丽总共走了 $2$ 千米，用时 $30 + 10 = 40$ 分钟。

因为 $40$ 分钟是 $\dfrac{2}{3}$ 小时，平均速度为 $2 \div \dfrac{2}{3} = 3$ 千米每小时。

所以正确答案是 A。

Mary walks a total of $2$ km in $30 + 10 = 40$ minutes.

Since $40$ minutes is $\dfrac{2}{3}$ hour, her average speed is $2 \div \dfrac{2}{3} = 3$ km/hr.

Thus, the correct answer is A.

5.

设 $d$ 和 $e$ 是方程 $2x^2 + 3x - 5 = 0$ 的解。求 $(d - 1)(e - 1)$ ？

Let $d$ and $e$ denote the solutions of $2x^2 + 3x - 5 = 0.$ What is the value of $(d - 1)(e - 1)?$

$-\dfrac{5}{2}$

$0$

$3$

$5$

$6$

知识点：二次方程因式分解

难度评级：1200

小提示：

把 $(d-1)(e-1)$ 展开，并用 $d+e$ 和 $de$ 表示

Expand $(d-1)(e-1)$ in terms of $d+e$ and $de$

大提示：

使用韦达定理，不必求根就能得到 $d+e$ 和 $de$

Use Vieta’s formulas to find $d+e$ and $de$ without solving for the roots

解答：

因式分解得 $2x^2 + 3x - 5 = (2x + 5)(x - 1)$ ，所以两个根为 $-\dfrac{5}{2}$ 和 $1$ 。

因为一个根等于 $1$ ，所以 $d-1$ 和 $e-1$ 这两个因子中有一个等于 $0$ ，乘积为 $0$ 。

所以正确答案是 B。

Factoring gives $2x^2 + 3x - 5 = (2x + 5)(x - 1),$ so the roots are $-\dfrac{5}{2}$ and $1.$

Since one root equals $1,$ one of the two factors $d-1$ and $e-1$ equals $0,$ making the product $0.$

Thus, the correct answer is B.

6.

对所有实数 $x$ 和 $y$ ，定义 $x \heartsuit y$ 为 $|x - y|$ 。下列哪一项不正确？

Define $x \heartsuit y$ to be $|x - y|$ for all real numbers $x$ and $y.$ Which of the following statements is not true?

对所有 $x$ 和 $y$ ， $x \heartsuit y = y \heartsuit x$

$x \heartsuit y = y \heartsuit x$ for all $x$ and $y$

对所有 $x$ 和 $y$ ， $2(x \heartsuit y) = (2x) \heartsuit (2y)$

$2(x \heartsuit y) = (2x) \heartsuit (2y)$ for all $x$ and $y$

对所有 $x$ ， $x \heartsuit 0 = x$

$x \heartsuit 0 = x$ for all $x$

对所有 $x$ ， $x \heartsuit x = 0$

$x \heartsuit x = 0$ for all $x$

若 $x \ne y$ ，则 $x \heartsuit y \gt 0$

$x \heartsuit y \gt 0$ if $x \ne y$

知识点：自定义运算绝对值反例

难度评级：1200

小提示：

用 $x \heartsuit y = |x-y|$ 重写每个陈述。

Rewrite each statement using $x \heartsuit y = |x-y|$

大提示：

当一个输入为 $0$ 、另一个输入为负数时，要特别留意。

Pay special attention when one input is $0$ and the other is negative

解答：

选项 C 声称 $x \heartsuit 0 = x$ ，但 $x \heartsuit 0 = |x - 0| = |x|$ ，当 $x$ 为负数时不成立。例如 $-1 \heartsuit 0 = 1 \ne -1$ 。

其他选项都直接来自绝对值的性质。

所以正确答案是 C。

Statement (C) claims $x \heartsuit 0 = x,$ but $x \heartsuit 0 = |x - 0| = |x|,$ which fails for negative $x.$ For example, $-1 \heartsuit 0 = 1 \ne -1.$

The remaining statements all follow directly from the properties of absolute value.

Thus, the correct answer is C.

7.

周长为 $7$ 、边长均为整数的互不全等三角形有多少个？

How many non-congruent triangles with perimeter $7$ have integer side lengths?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

知识点：三角不等式系统列举

难度评级：1250

小提示：

三条边是和为 $7$ 的正整数。

The three sides are positive integers summing to $7$

大提示：

最长边必须小于 $3.5$ ，所以最多为 $3$ 。

The longest side must be less than $3.5,$ so it is at most $3$

解答：

最长边不能超过 $3$ ，否则另外两边之和不能大于它。

可行的边长只有 $1$ 、 $3$ 、 $3$ 和 $2$ 、 $2$ 、 $3$ ，因此共有 $2$ 个三角形。

所以正确答案是 B。

The longest side cannot exceed $3,$ since otherwise the other two sides could not reach it.

The only possibilities are side lengths $1,$ $3,$ $3$ and $2,$ $2,$ $3,$ giving $2$ triangles.

Thus, the correct answer is B.

8.

从 $60$ 的正因数中随机抽取一个，它小于 $7$ 的概率是多少？

What is the probability that a randomly drawn positive factor of $60$ is less than $7?$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

知识点：因数基本概率

难度评级：1250

小提示：

列出 $60$ 的所有正因数。

List all positive divisors of $60$

大提示：

数一数 $12$ 个因数中有多少个小于 $7$ 。

Count how many of the $12$ divisors are less than $7$

解答：

$60$ 的因数为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $6$ 、 $10$ 、 $12$ 、 $15$ 、 $20$ 、 $30$ 和 $60$ 。

其中十二个因数有六个小于 $7$ ，所以概率为 $\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$ 。

所以正确答案是 E。

The factors of $60$ are $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $10,$ $12,$ $15,$ $20,$ $30,$ and $60.$

Six of these twelve factors are less than $7,$ so the probability is $\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}.$

Thus, the correct answer is E.

9.

化简 $\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}}\text{。}$

Simplify $\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}}.$

$\sqrt{x}$

$\sqrt[3]{x^2}$

$\sqrt[27]{x^2}$

$\sqrt[54]{x}$

$\sqrt[81]{x^{80}}$

知识点：根式指数

难度评级：1350

小提示：

从内向外，用分数指数重写每个根式。

Rewrite each radical using fractional exponents, working from the inside out

大提示：

最内层是 $x\sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}}$ ，每次开立方都会把指数除以 $3$ 。

The innermost $x\sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}},$ and each cube root divides the exponent by $3$

解答：

从内向外计算， $x\sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}}$ ，它的立方根为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

接着 $x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$ ，它的立方根仍为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

于是下一层又是 $x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$ ，开立方后仍为 $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$ 。

所以正确答案是 A。

Working outward, $x\sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}},$ and its cube root is $x^{\frac{1}{2}}.$

Then $x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}},$ whose cube root is again $x^{\frac{1}{2}}.$

Repeating once more, $x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}},$ whose cube root is $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}.$

Thus, the correct answer is A.

10.

图中实线围成的多边形由 $4$ 个全等正方形边对边连接而成。现在在标出的九个位置之一，沿一条边再接上一个全等正方形。所得九个多边形中，有多少个可以折成一个缺少一个面的立方体？

The polygon enclosed by the solid lines in the figure consists of $4$ congruent squares joined edge-to-edge. One more congruent square is attached to an edge at one of the nine positions indicated. How many of the nine resulting polygons can be folded to form a cube with one face missing?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

知识点：展开图（立体几何）正方体

难度评级：1410

小提示：

原来的四个正方形可以折成一个立方体的四个侧面。

The four squares already wrap into four side faces of a cube

大提示：

第五个正方形必须折到剩下两个面之一，且不能覆盖已经有的面。

The fifth square must fold up as one of the two remaining faces without landing on a face already covered

解答：

先折起四个阴影正方形。它们占据立方体的四个不同面，留下两个空面。

逐一检查标号位置：位置 $1$ 、 $2$ 和 $3$ 会使新正方形折到已被阴影正方形占据的面上。位置 $4$ 、 $5$ 、 $6$ 、 $7$ 、 $8$ 和 $9$ 会使它折到两个空面之一。因此 $9$ 个多边形中恰有 $6$ 个可行。

所以正确答案是 E。

Fold the four shaded squares first. They occupy four distinct faces of the cube, leaving two faces open.

Checking the numbered attachments, positions $1,$ $2,$ and $3$ fold the new square onto a face already occupied by one of the shaded squares. Positions $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ and $9$ fold it onto one of the two open faces. Therefore exactly $6$ of the $9$ polygons work.

Thus, the correct answer is E.

11.

两个 $5$ 位数 $AMC10$ 和 $AMC12$ 的和是 $123422$ 。求 $A + M + C$ ？

The sum of the two $5$ -digit numbers $AMC10$ and $AMC12$ is $123422.$ What is $A + M + C?$

$10$

$11$

$12$

$13$

$14$

知识点：数字谜位值

难度评级：1310

小提示：

将每个数写成 $100 \cdot \overline{AMC}$ 加上最后两位。

Write each number as $100 \cdot \overline{AMC}$ plus its last two digits

大提示：

它们的和为 $200 \cdot \overline{AMC} + 22 = 123422$ 。

Their sum is $200 \cdot \overline{AMC} + 22 = 123422$

解答：

两个数分别为 $100 \cdot \overline{AMC} + 10$ 和 $100 \cdot \overline{AMC} + 12$ ，所以 $200 \cdot \overline{AMC} + 22 = 123422$ 。

所以 $200 \cdot \overline{AMC} = 123400$ ， $\overline{AMC} = 617$ 。

$A + M + C = 6 + 1 + 7 = 14$ 。

所以正确答案是 E。

The two numbers equal $100 \cdot \overline{AMC} + 10$ and $100 \cdot \overline{AMC} + 12,$ so their sum is $200 \cdot \overline{AMC} + 22 = 123422.$

Then $200 \cdot \overline{AMC} = 123400,$ so $\overline{AMC} = 617.$

Therefore $A + M + C = 6 + 1 + 7 = 14.$

Thus, the correct answer is E.

12.

从顶点为 $(0, 0)$ 、 $(4, 0)$ 、 $(4, 1)$ 和 $(0, 1)$ 的长方形内部随机选一点 $(x, y)$ 。满足 $x \lt y$ 的概率是多少？

A point $(x, y)$ is randomly picked from inside the rectangle with vertices $(0, 0),$ $(4, 0),$ $(4, 1),$ and $(0, 1).$ What is the probability that $x \lt y?$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3}{4}$

知识点：几何概率三角形面积

难度评级：1410

小提示：

有利区域在直线 $y = x$ 的上方。

The favorable region lies above the line $y = x$

大提示：

在长方形内，这个区域是一个两条直角边长都为 $1$ 的三角形。

Within the rectangle, that region is a triangle with legs of length $1$

解答：

条件 $x \lt y$ 对应由 $y = x$ 、 $y = 1$ 和 $x = 0$ 围成的三角形，顶点为 $(0, 0)$ 、 $(0, 1)$ 和 $(1, 1)$ 。

这个三角形面积为 $\dfrac{1}{2}$ ，长方形面积为 $4$ 。

概率为 $\dfrac{\frac{1}{2}}{4} = \dfrac{1}{8}$ 。

所以正确答案是 A。

The condition $x \lt y$ holds in the triangle bounded by $y = x,$ $y = 1,$ and $x = 0,$ which has vertices $(0, 0),$ $(0, 1),$ and $(1, 1).$

This triangle has area $\dfrac{1}{2},$ while the rectangle has area $4.$

The probability is $\dfrac{\frac{1}{2}}{4} = \dfrac{1}{8}.$

Thus, the correct answer is A.

13.

三个数的和为 $20$ 。第一个数是另外两个数之和的 $4$ 倍。第二个数是第三个数的七倍。三个数的乘积是多少？

The sum of three numbers is $20.$ The first is $4$ times the sum of the other two. The second is seven times the third. What is the product of all three?

$28$

$40$

$100$

$400$

$800$

知识点：方程组换元法

难度评级：1310

小提示：

设第三个数为 $c$ ；则第二个数为 $7c$ 。

Let the third number be $c;$ then the second is $7c$

大提示：

第一个数等于 $4(b + c)$ ，所以 $4(b + c) + (b + c) = 20$ 。

The first number equals $4(b + c),$ so $4(b + c) + (b + c) = 20$

解答：

设三个数为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 。由于 $a = 4(b + c)$ ，可得 $4(b + c) + (b + c) = 20$ ，所以 $b + c = 4$ ，且 $a = 16$ 。

因为 $b = 7c$ ，所以 $7c + c = 4$ ，得 $c = \dfrac{1}{2}$ ， $b = \dfrac{7}{2}$ 。

乘积为 $16 \cdot \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = 28$ 。

所以正确答案是 A。

Let the numbers be $a,$ $b,$ $c.$ Since $a = 4(b + c),$ we get $4(b + c) + (b + c) = 20,$ so $b + c = 4$ and $a = 16.$

With $b = 7c,$ we have $7c + c = 4,$ so $c = \dfrac{1}{2}$ and $b = \dfrac{7}{2}.$

The product is $16 \cdot \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = 28.$

Thus, the correct answer is A.

14.

设 $n$ 是最大的整数，正好是 $3$ 个不同质数 $d$ 、 $e$ 、 $10d + e$ 的乘积，其中 $d$ 和 $e$ 是一位数字。求 $n$ 的各位数字之和。

Let $n$ be the largest integer that is the product of exactly $3$ distinct prime numbers, $d,$ $e,$ and $10d + e,$ where $d$ and $e$ are single digits. What is the sum of the digits of $n?$

$12$

$15$

$18$

$21$

$24$

知识点：质数数字系统列举

难度评级：1500

小提示：

一位质数为 $2$ 、 $3$ 、 $5$ 、 $7$ ，并且 $10d + e$ 也必须是质数。

The single-digit primes are $2,$ $3,$ $5,$ $7,$ and $10d + e$ must also be prime

大提示：

按 $d$ 从大到小检验候选数对，舍去使 $10d+e$ 为合数的数对。

Test candidate pairs in descending order of $d,$ discarding any pair for which $10d+e$ is composite

解答：

$d$ 和 $e$ 是集合 $\{2,3,5,7\}$ 中两个不同的元素，而且 $10d+e$ 也必须是质数。

从最大的十位数字开始。若 $d=7$ ，取 $e=5$ 或 $e=2$ 分别得到合数 $75$ 和 $72$ ，而取 $e=3$ 得到质数 $73$ 。于是 $n=7\cdot3\cdot73=1533$ 。

若 $d=5$ ，取 $e=7$ 或 $e=2$ 分别得到合数 $57$ 和 $52$ ，而取 $e=3$ 只能得到 $5\cdot3\cdot53=795$ 。所有 $d\le3$ 的情况都不超过 $3\cdot7\cdot37=777$ 。所以 $1533$ 是最大的有效值。

它的各位数字之和为 $1 + 5 + 3 + 3 = 12$ 。

所以正确答案是 A。

Both $d$ and $e$ are distinct members of $\{2,3,5,7\},$ and $10d+e$ must also be prime.

Start with the largest possible tens digit. For $d=7,$ the choices $e=5$ and $e=2$ give the composite numbers $75$ and $72,$ while $e=3$ gives the prime $73.$ This produces $n=7\cdot3\cdot73=1533.$

For $d=5,$ the choices $e=7$ and $e=2$ give the composite numbers $57$ and $52,$ while $e=3$ gives only $5\cdot3\cdot53=795.$ Every case with $d\le3$ is at most $3\cdot7\cdot37=777.$ Hence $1533$ is the largest valid value.

The sum of its digits is $1 + 5 + 3 + 3 = 12.$

Thus, the correct answer is A.

15.

从集合 $\{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ 中随机选一个整数，它能被 $2$ 整除但不能被 $3$ 整除的概率是多少？

What is the probability that an integer in the set $\{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ is divisible by $2$ and not divisible by $3?$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{33}{100}$

$\dfrac{17}{50}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{18}{25}$

知识点：基本概率倍数区间内整数计数

难度评级：1310

小提示：

先数 $2$ 的倍数，再去掉同时能被 $3$ 整除的数。

Count the multiples of $2,$ then remove those also divisible by $3$

大提示：

有 $50$ 个偶数和 $16$ 个 $6$ 的倍数。

There are $50$ even numbers and $16$ multiples of $6$

解答：

$100$ 个整数中有 $50$ 个能被 $2$ 整除。

其中同时能被 $3$ 整除的是 $6$ 的倍数，共 $16$ 个。

因此符合条件的数有 $50 - 16 = 34$ 个，概率为 $\dfrac{34}{100} = \dfrac{17}{50}$ 。

所以正确答案是 C。

Of the $100$ integers, $50$ are divisible by $2.$

Among those, the ones also divisible by $3$ are the multiples of $6,$ of which there are $16.$

So $50 - 16 = 34$ qualify, giving probability $\dfrac{34}{100} = \dfrac{17}{50}.$

Thus, the correct answer is C.

16.

$13^{2003}$ 的个位数字是多少？

What is the units digit of $13^{2003}?$

$1$

$3$

$7$

$8$

$9$

知识点：个位数字模运算找规律

难度评级：1350

小提示：

$13^n$ 的个位数字与 $3^n$ 的个位数字相同。

The units digit of $13^n$ equals the units digit of $3^n$

大提示：

$3$ 的幂的个位数字按 $3$ 、 $9$ 、 $7$ 、 $1$ 循环，周期为 $4$ 。

Units digits of powers of $3$ cycle $3,$ $9,$ $7,$ $1$ with period $4$

解答：

$13^{2003}$ 的个位数字等同于 $3^{2003}$ 的个位数字。

$3$ 的幂个位数字按 $3$ 、 $9$ 、 $7$ 、 $1$ 循环，周期为 $4$ 。

因为 $2003 = 4 \cdot 500 + 3$ ，所以个位数字是循环中的第三个，即 $7$ 。

所以正确答案是 C。

The units digit of $13^{2003}$ matches that of $3^{2003}.$

Powers of $3$ have units digits cycling $3,$ $9,$ $7,$ $1$ with period $4.$

Since $2003 = 4 \cdot 500 + 3,$ the units digit is the third in the cycle, which is $7.$

Thus, the correct answer is C.

17.

一个等边三角形周长的英寸数等于其外接圆面积的平方英寸数。这个圆的半径是多少英寸？

The number of inches in the perimeter of an equilateral triangle equals the number of square inches in the area of its circumscribed circle. What is the radius, in inches, of the circle?

$\dfrac{3\sqrt{2}}{\pi}$

$\dfrac{3\sqrt{3}}{\pi}$

$\sqrt{3}$

$\dfrac{6}{\pi}$

$\sqrt{3}\pi$

知识点：等边三角形外接圆、外心与外接圆半径特殊直角三角形

难度评级：1600

小提示：

等边三角形边长为 $s$ 时，外接圆半径为 $R = \dfrac{s}{\sqrt{3}}$ 。

For an equilateral triangle of side $s,$ the circumradius is $R = \dfrac{s}{\sqrt{3}}$

大提示：

令周长 $3s$ 等于面积 $\pi R^2$ ，再代入 $s = R\sqrt{3}$ 。

Set the perimeter $3s$ equal to the area $\pi R^2,$ then substitute $s = R\sqrt{3}$

解答：

设边长为 $s$ ，外接圆半径为 $R$ 。由等边三角形中的 $30$ - $60$ - $90$ 三角形， $R = \dfrac{s}{\sqrt{3}}$ ，所以 $s = R\sqrt{3}$ 。

周长为 $3s = 3R\sqrt{3}$ ，圆面积为 $\pi R^2$ 。

令二者相等， $3R\sqrt{3} = \pi R^2$ ，所以 $R = \dfrac{3\sqrt{3}}{\pi}$ 。

所以正确答案是 B。

Let the side length be $s$ and the circumradius be $R.$ From a $30$ - $60$ - $90$ triangle formed by the center and a side, $R = \dfrac{s}{\sqrt{3}},$ so $s = R\sqrt{3}.$

The perimeter is $3s = 3R\sqrt{3}$ and the circle’s area is $\pi R^2.$

Setting them equal, $3R\sqrt{3} = \pi R^2,$ so $R = \dfrac{3\sqrt{3}}{\pi}.$

Thus, the correct answer is B.

18.

下面方程的各根倒数之和是多少？ $\dfrac{2003}{2004}x + 1 + \dfrac{1}{x} = 0\text{？}$

What is the sum of the reciprocals of the roots of the equation $\dfrac{2003}{2004}x + 1 + \dfrac{1}{x} = 0?$

$-\dfrac{2004}{2003}$

$-1$

$\dfrac{2003}{2004}$

$1$

$\dfrac{2004}{2003}$

知识点：韦达定理二次方程

难度评级：1440

小提示：

两边乘以 $x$ ，得到二次方程 $ax^2 + x + 1 = 0$ ，其中 $a = \dfrac{2003}{2004}$ 。

Multiply through by $x$ to get a quadratic $ax^2 + x + 1 = 0$ with $a = \dfrac{2003}{2004}$

大提示：

若两根分别为 $r$ 、 $s$ ，倒数和为 $\dfrac{r + s}{rs}$ ；由韦达定理 $r + s = -\dfrac{1}{a}$ ， $rs = \dfrac{1}{a}$ 。

If the roots are $r$ and $s,$ their reciprocal sum is $\dfrac{r + s}{rs},$ and by Vieta $r + s = -\dfrac{1}{a},$ $rs = \dfrac{1}{a}$

解答：

设 $a = \dfrac{2003}{2004}$ 。两边乘以 $x$ ，得 $ax^2 + x + 1 = 0$ 。

若根为 $r$ 和 $s$ ，则由韦达定理 $r + s = -\dfrac{1}{a}$ ，且 $rs = \dfrac{1}{a}$ 。

倒数和为 $\dfrac{1}{r} + \dfrac{1}{s} = \dfrac{r + s}{rs} = \dfrac{-\frac{1}{a}}{\frac{1}{a}} = -1$ 。

所以正确答案是 B。

Let $a = \dfrac{2003}{2004}.$ Multiplying the equation by $x$ gives $ax^2 + x + 1 = 0.$

If the roots are $r$ and $s,$ then by Vieta’s formulas $r + s = -\dfrac{1}{a}$ and $rs = \dfrac{1}{a}.$

The sum of reciprocals is $\dfrac{1}{r} + \dfrac{1}{s} = \dfrac{r + s}{rs} = \dfrac{-\frac{1}{a}}{\frac{1}{a}} = -1.$

Thus, the correct answer is B.

19.

一个直径为 $1$ 的半圆位于一个直径为 $2$ 的半圆顶部，如图所示。位于较小半圆内部且位于较大半圆外部的阴影区域称为弓月形。求这个弓月形的面积。

A semicircle of diameter $1$ sits at the top of a semicircle of diameter $2,$ as shown. The shaded area inside the smaller semicircle and outside the larger semicircle is called a lune. Determine the area of this lune.

$\dfrac{1}{6}\pi - \dfrac{\sqrt{3}}{4}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{4} - \dfrac{1}{12}\pi$

$\dfrac{\sqrt{3}}{4} - \dfrac{1}{24}\pi$

$\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{1}{24}\pi$

$\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{1}{12}\pi$

知识点：扇形面积分割等边三角形

难度评级：1660

小提示：

这个弓月形等于一个三角形加小半圆，再减去大圆的一个扇形。

The lune equals a triangle plus the small semicircle, minus a sector of the large circle

大提示：

长度为 $1$ 的弦在大半圆所在圆中对应 $60^\circ$ 的弧。

The chord of length $1$ subtends a $60^\circ$ arc of the large semicircle

解答：

小半圆的直径是大圆中的一条长为 $1$ 的弦。将这条弦的两端与大圆圆心相连，得到边长为 $1$ 的等边三角形，面积为 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ 。

弦与小弧之间的区域连同这个三角形，面积为 $\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{1}{2}\pi\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{\pi}{8}$ 。

减去大圆中 $60^\circ$ 扇形面积 $\dfrac{1}{6}\pi(1)^2 = \dfrac{\pi}{6}$ ，得到弓月形面积为 $\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{\pi}{8} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} - \dfrac{\pi}{24}$ 。

所以正确答案是 C。

The small semicircle’s diameter is a chord of length $1$ in the large circle. Joining its endpoints to the large circle’s center gives an equilateral triangle of side $1$ and area $\dfrac{\sqrt{3}}{4}.$

The region between the chord and the small arc, taken together with that triangle, has area $\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{1}{2}\pi\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{\pi}{8}.$

Subtracting the $60^\circ$ sector of the large circle, of area $\dfrac{1}{6}\pi(1)^2 = \dfrac{\pi}{6},$ leaves the lune: $\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{\pi}{8} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} - \dfrac{\pi}{24}.$

Thus, the correct answer is C.

20.

随机选择一个 $10$ 进制三位数 $n$ 。下列哪个数最接近这样的概率： $n$ 的 $9$ 进制表示和 $11$ 进制表示都是三位数？

A base- $10$ three-digit number $n$ is selected at random. Which of the following is closest to the probability that the base- $9$ representation and the base- $11$ representation of $n$ are both three-digit numerals?

$0.3$

$0.4$

$0.5$

$0.6$

$0.7$

知识点：进制基本概率区间内整数计数

难度评级：1660

小提示：

一个数在 $9$ 进制中是三位数当且仅当 $81 \le n \le 728$ ，在 $11$ 进制中是三位数当且仅当 $121 \le n \le 1330$ 。

A number is three-digit in base $9$ when $81 \le n \le 728,$ and three-digit in base $11$ when $121 \le n \le 1330$

大提示：

在 $900$ 个 $10$ 进制三位数中，数出满足 $121 \le n \le 728$ 的个数。

Among the $900$ three-digit base- $10$ numbers, count those with $121 \le n \le 728$

解答：

最大的 $9$ 进制三位数是 $9^3 - 1 = 728$ ，最小的 $11$ 进制三位数是 $11^2 = 121$ 。

所以两种表示都为三位数当且仅当 $121 \le n \le 728$ ，共有 $608$ 个整数。

全部三位数共有 $900$ 个，概率为 $\dfrac{608}{900} \approx 0.7$ 。

所以正确答案是 E。

The largest three-digit base- $9$ number is $9^3 - 1 = 728,$ and the smallest three-digit base- $11$ number is $11^2 = 121.$

So both conditions hold exactly when $121 \le n \le 728,$ giving $608$ integers.

Out of $900$ three-digit numbers, the probability is $\dfrac{608}{900} \approx 0.7.$

Thus, the correct answer is E.

21.

帕特要从一个盘子中选择六块饼干，盘子里只有巧克力豆、燕麦和花生酱三种饼干，且每种至少有六块。可以选出多少种不同的六块饼干组合？

Pat is to select six cookies from a tray containing only chocolate chip, oatmeal, and peanut butter cookies. There are at least six of each of these three kinds of cookies on the tray. How many different assortments of six cookies can be selected?

$22$

$25$

$27$

$28$

$729$

知识点：隔板法

难度评级：1600

小提示：

数非负整数解 $a + b + c = 6$ 的个数。

Count the nonnegative integer solutions to $a + b + c = 6$

大提示：

由插板法，个数是 $\dbinom{6 + 2}{2}$ 。

By stars and bars this is $\dbinom{6 + 2}{2}$

解答：

一种组合由三种饼干各取多少块决定，所以要数 $a + b + c = 6$ 的非负整数解。

由插板法，在 $8$ 个位置中放 $2$ 个隔板，个数为 $\dbinom{8}{2} = 28$ 。

所以正确答案是 D。

An assortment is determined by how many of each type are chosen, so we count nonnegative integer solutions to $a + b + c = 6.$

By stars and bars, placing $2$ dividers among $8$ slots gives $\dbinom{8}{2} = 28$ assortments.

Thus, the correct answer is D.

22.

在长方形 $ABCD$ 中， $AB = 8$ ， $BC = 9$ 。点 $H$ 在 $\overline{BC}$ 上且 $BH = 6$ ，点 $E$ 在 $AD$ 上且 $DE = 4$ 。直线 $EC$ 与直线 $AH$ 交于 $G$ ，点 $F$ 在直线 $AD$ 上且 $\overline{GF} \perp \overline{AF}$ 。求 $\overline{GF}$ 的长度。

In rectangle $ABCD,$ we have $AB = 8,$ $BC = 9,$ $H$ is on $\overline{BC}$ with $BH = 6,$ $E$ is on $AD$ with $DE = 4,$ line $EC$ intersects line $AH$ at $G,$ and $F$ is on line $AD$ with $\overline{GF} \perp \overline{AF}.$ Find the length $\overline{GF}.$

$16$

$20$

$24$

$28$

$30$

知识点：坐标几何一次方程

难度评级：1800

小提示：

将 $D$ 放在原点， $A$ 放在正 $x$ 轴上。

Place $D$ at the origin with $A$ on the positive $x$ -axis

大提示：

求直线 $AH$ 和 $EC$ 的交点； $\overline{GF}$ 是点 $G$ 到直线 $AD$ 的高度。

Find where line $AH$ and line $EC$ meet, then $\overline{GF}$ is the height of $G$ above line $AD$

解答：

取坐标 $D = (0, 0)$ 、 $A = (9, 0)$ 、 $B = (9, 8)$ 、 $C = (0, 8)$ 、 $H = (3, 8)$ 、 $E = (4, 0)$ 。

直线 $AH$ 的方程为 $y = -\dfrac{4}{3}x + 12$ ，直线 $EC$ 的方程为 $y = -2x + 8$ 。

联立得 $x = -6$ 、 $y = 20$ ，所以 $G = (-6, 20)$ 。因为 $\overline{GF}$ 垂直于直线 $AD$ ，也就是垂直于 $x$ 轴，所以其长度就是高度 $20$ 。

所以正确答案是 B。

Place $D = (0, 0),$ $A = (9, 0),$ $B = (9, 8),$ $C = (0, 8),$ $H = (3, 8),$ and $E = (4, 0).$

Line $AH$ has equation $y = -\dfrac{4}{3}x + 12,$ and line $EC$ has equation $y = -2x + 8.$

Setting them equal gives $x = -6$ and $y = 20,$ so $G = (-6, 20).$ Since $\overline{GF}$ is perpendicular to line $AD$ (the $x$ -axis), its length is the height $20.$

Thus, the correct answer is B.

23.

用牙签排成若干行小等边三角形，从而构成一个大等边三角形。例如图中有 $3$ 行全等小等边三角形，底行有 $5$ 个小三角形。如果大等边三角形的底行由 $2003$ 个小等边三角形组成，需要多少根牙签？

A large equilateral triangle is constructed by using toothpicks to create rows of small equilateral triangles. For example, in the figure we have $3$ rows of small congruent equilateral triangles, with $5$ small triangles in the base row. How many toothpicks would be needed to construct a large equilateral triangle if the base row of the triangle consists of $2003$ small equilateral triangles?

$1{,}004{,}004$

$1{,}005{,}006$

$1{,}507{,}509$

$3{,}015{,}018$

$6{,}021{,}018$

知识点：求和找规律

难度评级：1730

小提示：

底行有 $2003$ 个小三角形意味着 $2n - 1 = 2003$ ，其中 $n$ 是行数。

A base row of $2003$ small triangles means $2n - 1 = 2003,$ so there are $n$ rows

大提示：

第 $k$ 行需要 $3k$ 根牙签，所以总数为 $3(1 + 2 + \cdots + n)$ 。

Row $k$ needs $3k$ toothpicks, so the total is $3(1 + 2 + \cdots + n)$

解答：

有 $n$ 行时，底行小三角形个数为 $2n - 1$ ，所以 $2n - 1 = 2003$ ，得 $n = 1002$ 。

第 $k$ 行需要 $3k$ 根牙签，所以总数为 $3(1 + 2 + \cdots + 1002)$ 。

这等于 $3 \cdot \dfrac{1002 \cdot 1003}{2} = 1{,}507{,}509$ 。

所以正确答案是 C。

A triangle with $n$ rows has $2n - 1$ small triangles in its base row, so $2n - 1 = 2003$ gives $n = 1002.$

Each row $k$ requires $3k$ toothpicks, so the total is $3(1 + 2 + \cdots + 1002).$

This equals $3 \cdot \dfrac{1002 \cdot 1003}{2} = 1{,}507{,}509.$

Thus, the correct answer is C.

24.

莎莉有五张红牌，编号为 $1$ 到 $5$ ，还有四张蓝牌，编号为 $3$ 到 $6$ 。她把这些牌叠成一列，使颜色交替，并且每张红牌上的数都能整除相邻蓝牌上的数。中间三张牌上的数之和是多少？

Sally has five red cards numbered $1$ through $5$ and four blue cards numbered $3$ through $6.$ She stacks the cards so that the colors alternate and so that the number on each red card divides evenly into the number on each neighboring blue card. What is the sum of the numbers on the middle three cards?

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

知识点：整除性逻辑推理

难度评级：1840

小提示：

先看每张红牌可能与哪些蓝牌相邻，因为红牌数字必须整除蓝牌数字。

Consider which blue cards each red card can neighbor, since the red number must divide the blue number

大提示：

红 $4$ 和红 $5$ 各自只能整除一张蓝牌，这会迫使它们在牌列两端。

Red $4$ and red $5$ each divide only one blue card, forcing the ends of the stack

解答：

在蓝牌 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $6$ 中，红 $5$ 只能整除 $5$ ，红 $4$ 只能整除 $4$ ，所以这些配对必须位于两端。

红 $2$ 只能整除 $4$ 和 $6$ ，红 $3$ 只能整除 $3$ 和 $6$ 。继续连接会迫使牌列为 $R4$ 、 $B4$ 、 $R2$ 、 $B6$ 、 $R3$ 、 $B3$ 、 $R1$ 、 $B5$ 、 $R5$ 。

中间三张是 $B6$ 、 $R3$ 、 $B3$ ，和为 $6 + 3 + 3 = 12$ 。

所以正确答案是 E。

Among blue cards $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ red $5$ divides only $5$ and red $4$ divides only $4,$ so those pairs must sit at the ends.

Red $2$ divides only $4$ and $6,$ and red $3$ divides only $3$ and $6.$ Chaining these forces the stack $R4,$ $B4,$ $R2,$ $B6,$ $R3,$ $B3,$ $R1,$ $B5,$ $R5.$

The middle three cards are $B6,$ $R3,$ $B3,$ summing to $6 + 3 + 3 = 12.$

Thus, the correct answer is E.

25.

设 $n$ 是 $5$ 位数， $n$ 除以 $100$ 时的商和余数分别为 $q$ 和 $r$ 。有多少个 $n$ 满足 $q + r$ 能被 $11$ 整除？

Let $n$ be a $5$ -digit number, and let $q$ and $r$ be the quotient and remainder, respectively, when $n$ is divided by $100.$ For how many values of $n$ is $q + r$ divisible by $11?$

$8180$

$8181$

$8182$

$9000$

$9090$

知识点：整除性模运算区间内整数计数

难度评级：2070

小提示：

写成 $n = 100q + r$ ，所以 $n = (q + r) + 99q$ 。

Write $n = 100q + r,$ so $n = (q + r) + 99q$

大提示：

因为 $99q$ 能被 $11$ 整除，所以 $q + r$ 能被 $11$ 整除当且仅当 $n$ 也能被整除。

Since $99q$ is divisible by $11,$ $q + r$ is divisible by $11$ exactly when $n$ is

解答：

写成 $n = 100q + r = (q + r) + 99q$ 。

因为 $99q$ 是 $11$ 的倍数，所以 $q + r$ 能被 $11$ 整除当且仅当 $n$ 也能被整除。

$5$ 位数中， $11$ 的倍数满足 $10000 \le n \le 99999$ ，共有

$\begin{aligned} &\left\lfloor\dfrac{99999}{11}\right\rfloor - \left\lfloor\dfrac{9999}{11}\right\rfloor \\ &= 9090 - 909 \\ &= 8181 \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 B。

Write $n = 100q + r = (q + r) + 99q.$

Since $99q$ is a multiple of $11,$ $q + r$ is divisible by $11$ if and only if $n$ is.

The $5$ -digit multiples of $11$ satisfy $10000 \le n \le 99999,$ and there are

$\begin{aligned} &\left\lfloor\dfrac{99999}{11}\right\rfloor - \left\lfloor\dfrac{9999}{11}\right\rfloor \\ &= 9090 - 909 \\ &= 8181. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.