Question

有多少个实数有序对 $(x,y)$ 满足方程组 $\begin{aligned} x^2+3y&=9, \\ (|x|+|y|-4)^2&=1 \end{aligned}\text{。}$

How many ordered pairs $(x,y)$ of real numbers satisfy the following system of equations? $\begin{aligned} x^2+3y&=9, \\ (|x|+|y|-4)^2&=1. \end{aligned}$

$1$

$2$

$3$

$5$

$7$

答案：D

知识点：绝对值方程组分类讨论

难度评级：1540

小提示：

第二个方程给出 $|x|+|y|=3$ 或 $5$ 。

The second equation gives $|x|+|y|=3$ or $5$

大提示：

用 $y=3-\frac{x^2}{3}$ ，并按 $x,y$ 的符号范围检查。

Use $y=3-\frac{x^2}{3}$ and check the sign ranges for $x,y$

解答：

令 $t=|x|$ 。第二个方程给出 $t+|y|=3$ 或 $5$ ，而第一个方程给出 $y=3-\frac{t^2}{3}$ 。

若 $y\ge0$ ，则 $0\le t\le3$ 。对于 $t+y=3$ ，代入可得 $t-\frac{t^2}{3}=0$ ，所以 $t=0$ 或 $3$ 。这些值给出 $x=0,3,-3$ ，共有三个点。对于 $t+y=5$ ，代入可得 $t^2-3t+6=0$ ，它没有实根。

若 $y<0$ ，则 $t>3$ 。方程 $t-y=3$ 给出 $t^2+3t-18=0$ ，其唯一非负根是被排除的边界值 $t=3$ 。方程 $t-y=5$ 给出 $t^2+3t-24=0$ ，它恰有一个正根 $t=\frac{-3+\sqrt{105}}2>3$ 。这个根按 $x$ 的两种符号给出两个点。

有序对总数为 $3+2=5$ 。

所以正确答案是 D。

Put $t=|x|.$ The second equation gives $t+|y|=3$ or $5,$ while the first gives $y=3-\frac{t^2}{3}.$

If $y\ge0,$ then $0\le t\le3.$ For $t+y=3,$ substitution gives $t-\frac{t^2}{3}=0,$ so $t=0$ or $3.$ These yield $x=0,3,-3,$ for three points. For $t+y=5,$ substitution gives $t^2-3t+6=0,$ which has no real root.

If $y<0,$ then $t>3.$ The equation $t-y=3$ gives $t^2+3t-18=0,$ whose only nonnegative root is the excluded boundary value $t=3.$ The equation $t-y=5$ gives $t^2+3t-24=0,$ with exactly one positive root $t=\frac{-3+\sqrt{105}}2>3.$ It yields two points, one for each sign of $x.$

The total number of ordered pairs is $3+2=5.$

Thus, D is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall 第 14 题

答案：D

难度评级：1540

小提示：

大提示：

解答：

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