Question

数 $25^{64} \cdot 64^{25}$ 是某个正整数 $N$ 的平方。在十进制表示中， $N$ 的各位数字之和是多少？

The number $25^{64} \cdot 64^{25}$ is the square of a positive integer $N.$ In decimal representation, what is the sum of the digits of $N?$

$7$

$14$

$21$

$28$

$35$

知识点：指数数字

将所有数写成 $2$ 和 $5$ 的幂后开平方。

Take the square root by writing everything as powers of $2$ and $5$

$N = 5^{64}\cdot 2^{75} = 10^{64}\cdot 2^{11}$ ，所以只需看 $2^{11}$ 的数字。

$N = 5^{64}\cdot 2^{75} = 10^{64}\cdot 2^{11}$ ; only the digits of $2^{11}$ matter

因为 $25 = 5^2$ 、 $64 = 2^6$ ，所以 $25^{64}\cdot 64^{25} = 5^{128}\cdot 2^{150}$ ，从而 $N = \sqrt{5^{128}\cdot 2^{150}} = 5^{64}\cdot 2^{75}\text{。}$

写成 $2^{75} = 2^{64}\cdot 2^{11}$ ，可得 $N = (5\cdot 2)^{64}\cdot 2^{11} = 10^{64}\cdot 2048$ 。

因此 $N$ 是 $2048$ 后接 $64$ 个零，数字和为 $2 + 0 + 4 + 8 = 14$ 。

所以正确答案是 B。

Since $25 = 5^2$ and $64 = 2^6,$ we have $25^{64}\cdot 64^{25} = 5^{128}\cdot 2^{150},$ so $N = \sqrt{5^{128}\cdot 2^{150}} = 5^{64}\cdot 2^{75}.$

Writing $2^{75} = 2^{64}\cdot 2^{11},$ we get $N = (5\cdot 2)^{64}\cdot 2^{11} = 10^{64}\cdot 2048.$

So $N$ is $2048$ followed by $64$ zeros, and its digit sum is $2 + 0 + 4 + 8 = 14.$

Thus, the correct answer is B.