Question

二次方程 $x^2-63x+k=0$ 的两个根都是质数。 $k$ 可能有多少个取值？

Both roots of the quadratic equation $x^2-63x+k=0$ are prime numbers. The number of possible values of $k$ is

$0$

$1$

$2$

$4$

多于四个

more than four

两个根的和为 $63$ ，乘积为 $k$ 。

The roots sum to $63$ and multiply to $k$

两个质数的和为奇数，说明其中一个必须是 $2$ 。

An odd sum of two primes forces one of them to be $2$

设两个质数根为 $p$ 、 $q$ ，则 $p+q=63$ ， $pq=k$ 。因为 $63$ 是奇数，其中一个质数必须是 $2$ ，从而另一个是 $61$ ，它也是质数。

因此 $k=2\cdot 61=122$ ，所以只有这一个可能取值。

所以正确答案是 B。

If the roots are primes $p$ and $q,$ then $p+q=63$ and $pq=k.$ Because $63$ is odd, one prime must be $2,$ making the other $61,$ which is prime.

So $k=2\cdot 61=122$ is the only possible value.

Thus, the correct answer is B.