2002 AMC 10A 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

比值 $\dfrac{10^{2000}+10^{2002}}{10^{2001}+10^{2001}}$ 最接近下列哪个数？

The ratio $\dfrac{10^{2000}+10^{2002}}{10^{2001}+10^{2001}}$ is closest to which of the following numbers?

$0.1$

$0.2$

$1$

$5$

$10$

知识点：指数估算

难度评级：960

小提示：

从分子中提出 $10^{2000}$ 。

Factor $10^{2000}$ out of the numerator

大提示：

分母等于 $2\cdot 10^{2001}$ 。

The denominator equals $2\cdot 10^{2001}$

解答：

提出公因式得 $\dfrac{10^{2000}(1+100)}{2\cdot 10^{2001}}=\dfrac{101}{20}=5.05\text{，}$ 它最接近 $5$ 。

所以正确答案是 D。

Factoring gives $\dfrac{10^{2000}(1+100)}{2\cdot 10^{2001}}=\dfrac{101}{20}=5.05,$ which is closest to $5.$

Thus, the correct answer is D.

2.

对非零数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，定义 $(a,b,c)=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\text{。}$ 求 $(2,12,9)$ 。

For the nonzero numbers $a,$ $b,$ and $c,$ define $(a,b,c)=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}.$ Find $(2,12,9).$

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

知识点：自定义运算分数

难度评级：960

小提示：

代入 $a=2$ 、 $b=12$ 、 $c=9$ 。

Substitute $a=2,$ $b=12,$ $c=9$

大提示：

将 $\dfrac{2}{12}+\dfrac{12}{9}+\dfrac{9}{2}$ 通分相加。

Add $\dfrac{2}{12}+\dfrac{12}{9}+\dfrac{9}{2}$ over a common denominator

解答：

$\begin{aligned} (2,12,9) &= \dfrac{2}{12}+\dfrac{12}{9}+\dfrac{9}{2} \\ &= \dfrac{1}{6}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{9}{2} \end{aligned}\text{。}$ 通分到分母 $6$ ，得到 $\dfrac{1+8+27}{6}=\dfrac{36}{6}=6$ 。

所以正确答案是 C。

$\begin{aligned} (2,12,9) &= \dfrac{2}{12}+\dfrac{12}{9}+\dfrac{9}{2} \\ &= \dfrac{1}{6}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{9}{2}. \end{aligned}$ Over a denominator of $6,$ this is $\dfrac{1+8+27}{6}=\dfrac{36}{6}=6.$

Thus, the correct answer is C.

3.

按照指数运算的标准约定， $2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}=2^{16}=65{,}536\text{。}$ 如果改变指数运算的执行顺序，还可能得到多少个其他值？

According to the standard convention for exponentiation, $2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}=2^{16}=65{,}536.$ If the order in which the exponentiations are performed is changed, how many other values are possible?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

知识点：指数运算顺序系统列举

难度评级：1190

小提示：

列出四个 $2$ 组成的指数塔的五种加括号方式。

List the five ways to parenthesize a tower of four $2$ ’s

大提示：

每种加括号方式的值都是 $2^{16}$ 或 $2^{8}$ 。

Every grouping evaluates to either $2^{16}$ or $2^{8}$

解答：

这个四层指数塔有五种加括号方式。其中 $(2^2)^{\left(2^2\right)}$ 、 $\left(2^{\left(2^2\right)}\right)^2$ 、 $\left(\left(2^2\right)^2\right)^2$ 都等于 $2^{8}=256$ 。另外两种都给出标准值 $2^{16}=65{,}536$ 。

所以只可能得到一个其他值，即 $256$ 。

所以正确答案是 B。

There are five ways to parenthesize the tower. Three of them, $(2^2)^{\left(2^2\right)},$ $\left(2^{\left(2^2\right)}\right)^2,$ and $\left(\left(2^2\right)^2\right)^2,$ all equal $2^{8}=256.$ The other two both give the standard value $2^{16}=65{,}536.$

So exactly one other value, $256,$ is possible.

Thus, the correct answer is B.

4.

有多少个正整数 $m$ 满足：存在至少一个正整数 $n$ ，使得 $m\cdot n\le m+n$ ？

For how many positive integers $m$ does there exist at least one positive integer $n$ such that $m\cdot n\le m+n?$

$4$

$6$

$9$

$12$

无穷多个

infinitely many

知识点：不等式小情形

难度评级：980

小提示：

试一个很小的正整数 $n$ 。

Try a very small positive value of $n$

大提示：

看所得不等式是否对 $m$ 给出了任何上界。

See whether the resulting inequality places any upper bound on $m$

解答：

取 $n=1$ 。此时 $m\cdot 1\le m+1$ ，也就是 $m\le m+1$ ，对每个正整数 $m$ 都成立。

所以每个正整数 $m$ 都符合条件，共有无穷多个。

所以正确答案是 E。

Take $n=1.$ Then $m\cdot 1\le m+1$ becomes $m\le m+1,$ which holds for every positive integer $m.$

So every positive integer $m$ works, giving infinitely many.

Thus, the correct answer is E.

5.

图中每个小圆的半径都是一。最里面的圆与围绕它的六个圆相切，这六个圆中的每个又与大圆以及相邻的小圆相切。求阴影区域的面积。

Each of the small circles in the figure has radius one. The innermost circle is tangent to the six circles that surround it, and each of those circles is tangent to the large circle and to its small-circle neighbors. Find the area of the shaded region.

$\pi$

$1.5\pi$

$2\pi$

$3\pi$

$3.5\pi$

知识点：相切圆圆面积

难度评级：1060

小提示：

大圆半径经过中心小圆，再加上外圈小圆的两个半径。

The large radius spans the center circle plus two more radii

大提示：

用大圆面积减去七个单位圆的面积。

Subtract the seven unit circles from the large circle

解答：

外圈小圆的圆心到中心的距离为 $2$ ，再加上它自己的半径 $1$ ，得到大圆半径为 $3$ 。

大圆面积为 $9\pi$ ，七个单位圆总面积为 $7\pi$ ，所以阴影面积为 $9\pi-7\pi=2\pi$ 。

所以正确答案是 C。

The center of a surrounding circle is $2$ from the center (two radii), and adding its own radius $1$ gives a large radius of $3.$

The large circle has area $9\pi,$ and the seven unit circles have total area $7\pi,$ so the shaded region is $9\pi-7\pi=2\pi.$

Thus, the correct answer is C.

6.

老师要求 Cindy 从某个数中减去 $3$ ，再将结果除以 $9$ 。但她却先减去 $9$ ，再将结果除以 $3$ ，得到答案 $43$ 。如果她按正确步骤计算，答案应是多少？

Cindy was asked by her teacher to subtract $3$ from a certain number and then divide the result by $9.$ Instead, she subtracted $9$ and then divided the result by $3,$ giving an answer of $43.$ What would her answer have been had she worked the problem correctly?

$15$

$34$

$43$

$51$

$138$

知识点：一次方程逆推法

难度评级：1120

小提示：

先从 Cindy 的错误步骤还原原数。

Recover the original number from Cindy’s incorrect steps

大提示：

解方程 $\dfrac{x-9}{3}=43$ 。

Solve $\dfrac{x-9}{3}=43$

解答：

设原数为 $x$ 。由 $\dfrac{x-9}{3}=43$ ，得 $x-9=129$ ，所以 $x=138$ 。

正确计算为 $\dfrac{138-3}{9}=\dfrac{135}{9}=15$ 。

所以正确答案是 A。

Let $x$ be the number. Cindy computed $\dfrac{x-9}{3}=43,$ so $x-9=129$ and $x=138.$

The correct computation is $\dfrac{138-3}{9}=\dfrac{135}{9}=15.$

Thus, the correct answer is A.

7.

若圆 $A$ 上 $45^\circ$ 的弧长等于圆 $B$ 上 $30^\circ$ 的弧长，则圆 $A$ 的面积与圆 $B$ 的面积之比为

If an arc of $45^\circ$ on circle $A$ has the same length as an arc of $30^\circ$ on circle $B,$ then the ratio of the area of circle $A$ to the area of circle $B$ is

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{5}{6}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{9}{4}$

知识点：弧面积比比与比例

难度评级：1190

小提示：

弧长为 $\dfrac{\theta}{360}\cdot 2\pi r$ 。

Arc length is $\dfrac{\theta}{360}\cdot 2\pi r$

大提示：

弧长相等会给出 $\dfrac{r_A}{r_B}$ 。

Equal arc lengths give the ratio $\dfrac{r_A}{r_B}$

解答：

弧长相等给出 $\dfrac{45}{360}\cdot 2\pi r_A=\dfrac{30}{360}\cdot 2\pi r_B$ ，因此 $45 r_A=30 r_B$ ，所以 $\dfrac{r_A}{r_B}=\dfrac{2}{3}$ 。

面积之比是 $\left(\dfrac{r_A}{r_B}\right)^2=\dfrac{4}{9}$ 。

所以正确答案是 A。

Equal arc lengths give $\dfrac{45}{360}\cdot 2\pi r_A=\dfrac{30}{360}\cdot 2\pi r_B,$ so $45 r_A=30 r_B$ and $\dfrac{r_A}{r_B}=\dfrac{2}{3}.$

The ratio of areas is $\left(\dfrac{r_A}{r_B}\right)^2=\dfrac{4}{9}.$

Thus, the correct answer is A.

8.

Betsy 用蓝色三角形、小白色正方形和红色中心正方形设计了一面旗帜，如图所示。设 $B$ 为蓝色三角形总面积， $W$ 为白色正方形总面积， $R$ 为红色正方形面积。下列哪一项正确？

Betsy designed a flag using blue triangles, small white squares, and a red center square, as shown. Let $B$ be the total area of the blue triangles, $W$ the total area of the white squares, and $R$ the area of the red square. Which of the following is correct?

$B=W$

$W=R$

$B=R$

$3B=2R$

$2R=W$

知识点：面积分割全等（几何）

难度评级：1270

小提示：

将整面旗帜切分成全等的直角三角形。

Cut the whole flag into congruent right triangles

大提示：

分别数出每种颜色由多少个这样的全等三角形组成。

Count how many of those congruent triangles fill each color

解答：

画出网格线和对角线，把旗帜分成全等的直角三角形。数一数可得蓝色区域有 $24$ 个，白色区域有 $24$ 个，红色区域有 $16$ 个。

因此 $B=W$ 。

所以正确答案是 A。

Divide the flag into congruent right triangles by drawing the grid lines and diagonals. Counting gives $24$ triangles in the blue region, $24$ in the white region, and $16$ in the red region.

Hence $B=W.$

Thus, the correct answer is A.

9.

假设 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 是三个数，满足 $1001C-2002A=4004$ 和 $1001B+3003A=5005$ 。这三个数 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的平均数是多少？

Suppose $A,$ $B,$ and $C$ are three numbers for which $1001C-2002A=4004$ and $1001B+3003A=5005.$ The average of the three numbers $A,$ $B,$ and $C$ is

$1$

$3$

$6$

$9$

不能唯一确定

not uniquely determined

知识点：方程组平均数

难度评级：1170

小提示：

将两个方程相加。

Add the two equations together

大提示：

和会化成 $A+B+C$ 的倍数。

The sum collapses to a multiple of $A+B+C$

解答：

两个方程相加，得到 $\begin{gathered} 1001C-2002A+1001B \\ {}+3003A \\ = 1001A+1001B+1001C \\ = 9009 \end{gathered}\text{。}$

所以 $A+B+C=9$ ，平均数为 $\dfrac{9}{3}=3$ 。

所以正确答案是 B。

Adding the equations, $\begin{gathered} 1001C-2002A+1001B \\ {}+3003A \\ = 1001A+1001B+1001C \\ = 9009. \end{gathered}$

So $A+B+C=9$ and the average is $\dfrac{9}{3}=3.$

Thus, the correct answer is B.

10.

求方程 $(2x+3)(x-4)$ $+(2x+3)(x-6)=0$ 的所有根之和。

Compute the sum of all the roots of $(2x+3)(x-4)$ $+(2x+3)(x-6)=0.$

$\dfrac{7}{2}$

$4$

$5$

$7$

$13$

知识点：二次方程因式分解

难度评级：1120

小提示：

提出公因式 $(2x+3)$ 。

Factor out the common $(2x+3)$

大提示：

在括号中合并 $(x-4)+(x-6)$ 。

Combine $(x-4)+(x-6)$ inside the bracket

解答：

因式分解得 $\begin{gathered} (2x+3)\left[(x-4)+(x-6)\right] \\ = (2x+3)(2x-10) \\ = 0 \end{gathered}\text{。}$

两个根为 $-\dfrac{3}{2}$ 和 $5$ ，它们的和为 $\dfrac{7}{2}$ 。

所以正确答案是 A。

Factoring, $\begin{gathered} (2x+3)\left[(x-4)+(x-6)\right] \\ = (2x+3)(2x-10) \\ = 0. \end{gathered}$

The roots are $-\dfrac{3}{2}$ and $5,$ which sum to $\dfrac{7}{2}.$

Thus, the correct answer is A.

11.

Jamal 想把 $30$ 个电脑文件存到软盘上，每张软盘容量为 $1.44$ 兆字节（MB）。其中三个文件各需要 $0.8$ MB，另有 $12$ 个各需要 $0.7$ MB，剩下 $15$ 个各需要 $0.4$ MB。一个文件不能拆分到多张软盘上。最少需要多少张软盘？

Jamal wants to store $30$ computer files on floppy disks, each of which has a capacity of $1.44$ megabytes (mb). Three of his files require $0.8$ mb of memory each, $12$ more require $0.7$ mb each, and the remaining $15$ require $0.4$ mb each. No file can be split between floppy disks. What is the minimal number of floppy disks that will hold all the files?

$12$

$13$

$14$

$15$

$16$

知识点：最优化极限情形界定

难度评级：1420

小提示：

一个 $0.8$ 兆字节文件所在的软盘最多还能放一个 $0.4$ 兆字节文件。

A $0.8$ mb file leaves room for only one $0.4$ mb file on its disk

大提示：

先计算三个 $0.8$ 兆字节文件所在软盘上不可避免的浪费空间，再构造达到下界的装法。

Account for the wasted space on the three $0.8$ mb disks, then build a packing that reaches the bound

解答：

文件总大小为 $3(0.8)+12(0.7)+15(0.4)$ $=16.8$ 兆字节。任何装有 $0.8$ 兆字节文件的软盘，只能再放一个 $0.4$ 兆字节文件，因为 $0.8+0.7\gt 1.44$ 。因此每张这样的软盘至少浪费 $0.24$ 兆字节，三张共至少浪费 $0.72$ 兆字节，有效需求至少为 $16.8+0.72=17.52$ 兆字节，所以至少需要 $\left\lceil\dfrac{17.52}{1.44}\right\rceil=13$ 张软盘。

这个数可以达到： $3$ 张各放一个 $0.8$ 兆字节文件和一个 $0.4$ 兆字节文件； $6$ 张各放两个 $0.7$ 兆字节文件； $4$ 张各放三个 $0.4$ 兆字节文件。

所以正确答案是 B。

The files need $3(0.8)+12(0.7)+15(0.4)$ $=16.8$ mb. On any disk holding a $0.8$ mb file, only one $0.4$ mb file fits alongside it (since $0.8+0.7\gt 1.44$ ), leaving at least $0.24$ mb wasted. Across the three such disks that is at least $0.72$ mb, so the effective demand is at least $16.8+0.72=17.52$ mb, requiring at least $\left\lceil\dfrac{17.52}{1.44}\right\rceil=13$ disks.

This is achievable: $3$ disks each hold one $0.8$ file and one $0.4$ file, $6$ disks each hold two $0.7$ files, and $4$ disks each hold three $0.4$ files.

Thus, the correct answer is B.

12.

Earl E. Bird 先生每天早上正好在 $8{:}00$ 离家上班。当他的平均速度为每小时 $40$ 英里时，会晚到三分钟；当平均速度为每小时 $60$ 英里时，会早到三分钟。Bird 先生应以多少英里每小时的平均速度行驶，才能准时到达？

Mr. Earl E. Bird leaves his house for work at exactly $8{:}00$ A.M. every morning. When he averages $40$ miles per hour, he arrives at his workplace three minutes late. When he averages $60$ miles per hour, he arrives three minutes early. At what average speed, in miles per hour, should Mr. Bird drive to arrive at his workplace precisely on time?

$45$

$48$

$50$

$55$

$58$

知识点：路程、速度与时间一次方程

难度评级：1410

小提示：

设准时所需行驶时间为 $t$ 小时；三分钟是 $0.05$ 小时。

Let $t$ be the on-time travel time in hours; three minutes is $0.05$ hours

大提示：

两种情况下路程相同： $40(t+0.05)=60(t-0.05)$ 。

The distance is the same both ways: $40(t+0.05)=60(t-0.05)$

解答：

设准时所需时间为 $t$ 小时。题中的 $3$ 分钟等于 $0.05$ 小时，所以 $40(t+0.05)=60(t-0.05)$ 。化简得 $40t+2=60t-3$ ，从而 $t=0.25$ 。

路程为 $40(0.30)=12$ 英里，因此准时速度为 $\dfrac{12}{0.25}=48$ 英里每小时。

所以正确答案是 B。

Let $t$ hours be the on-time travel time. Since $3$ minutes is $0.05$ hours, $40(t+0.05)=60(t-0.05).$ Then $40t+2=60t-3,$ so $t=0.25.$

The distance is $40(0.30)=12$ miles, so the required speed is $\dfrac{12}{0.25}=48$ mph.

Thus, the correct answer is B.

13.

一个三角形的边长为 $15$ 、 $20$ 、 $25$ 。求最短高的长度。

The sides of a triangle have lengths of $15,$ $20,$ and $25.$ Find the length of the shortest altitude.

$6$

$12$

$12.5$

$13$

$15$

知识点：直角三角形高线三角形面积

难度评级：1280

小提示：

检查 $15$ 、 $20$ 、 $25$ 是否构成直角三角形。

Check whether $15,$ $20,$ $25$ is a right triangle

大提示：

最短的高落在最长边上。

The shortest altitude is drawn to the longest side

解答：

因为 $15^2+20^2=225+400$ $=625=25^2$ ，这是一个直角三角形，两条直角边为 $15$ 和 $20$ ，面积为 $\dfrac{1}{2}(15)(20)=150$ 。

最短高对应最长边 $25$ ，长度为 $\dfrac{2\cdot 150}{25}=12$ 。

所以正确答案是 B。

Since $15^2+20^2=225+400$ $=625=25^2,$ the triangle is right with legs $15$ and $20,$ and area $\dfrac{1}{2}(15)(20)=150.$

The shortest altitude falls to the longest side $25,$ and equals $\dfrac{2\cdot 150}{25}=12.$

Thus, the correct answer is B.

14.

二次方程 $x^2-63x+k=0$ 的两个根都是质数。 $k$ 可能有多少个取值？

Both roots of the quadratic equation $x^2-63x+k=0$ are prime numbers. The number of possible values of $k$ is

$0$

$1$

$2$

$4$

多于四个

more than four

知识点：韦达定理质数奇偶性

难度评级：1310

小提示：

两个根的和为 $63$ ，乘积为 $k$ 。

The roots sum to $63$ and multiply to $k$

大提示：

两个质数的和为奇数，说明其中一个必须是 $2$ 。

An odd sum of two primes forces one of them to be $2$

解答：

设两个质数根为 $p$ 、 $q$ ，则 $p+q=63$ ， $pq=k$ 。因为 $63$ 是奇数，其中一个质数必须是 $2$ ，从而另一个是 $61$ ，它也是质数。

因此 $k=2\cdot 61=122$ ，所以只有这一个可能取值。

所以正确答案是 B。

If the roots are primes $p$ and $q,$ then $p+q=63$ and $pq=k.$ Because $63$ is odd, one prime must be $2,$ making the other $61,$ which is prime.

So $k=2\cdot 61=122$ is the only possible value.

Thus, the correct answer is B.

15.

用数字 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $6$ 、 $7$ 、 $9$ 组成四个两位质数，每个数字恰好使用一次。这四个质数的和是多少？

The digits $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ and $9$ are used to form four two-digit prime numbers, with each digit used exactly once. What is the sum of these four primes?

$150$

$160$

$170$

$180$

$190$

知识点：质数数字位值

难度评级：1390

小提示：

两位质数不能以 $2$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $6$ 结尾。

A two-digit prime cannot end in $2,$ $4,$ $5,$ or $6$

大提示：

因此这四个数字必须放在十位。

Those four digits must therefore be the tens digits

解答：

两位质数不能以 $2$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $6$ 结尾，所以这些数字必须是十位数字，而 $1$ 、 $3$ 、 $7$ 、 $9$ 是个位数字。

四个数的和为 $10(2+4+5+6)$ $+(1+3+7+9)$ $=170+20=190$ 。例如 $\{23,47,59,61\}$ 是一组可行构造。

所以正确答案是 E。

A two-digit prime cannot end in $2,$ $4,$ $5,$ or $6,$ so these four are the tens digits and $1,$ $3,$ $7,$ and $9$ are the units digits.

The sum is $10(2+4+5+6)$ $+(1+3+7+9)$ $=170+20=190.$ One valid set is $\{23,47,59,61\}.$

Thus, the correct answer is E.

16.

若 $a+1$ $=b+2$ $=c+3$ $=d+4$ $=a+b+c+d+5$ ，则 $a+b+c+d$ 等于多少？

If $a+1$ $=b+2$ $=c+3$ $=d+4$ $=a+b+c+d+5,$ then $a+b+c+d$ is

$-5$

$-\dfrac{10}{3}$

$-\dfrac{7}{3}$

$\dfrac{5}{3}$

$5$

知识点：方程组换元法

难度评级：1330

小提示：

令所有表达式都等于同一个值 $k$ 。

Set every expression equal to a single value $k$

大提示：

用 $k$ 表示 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ ，再相加。

Write $a,$ $b,$ $c,$ $d$ in terms of $k$ and add them

解答：

设公共值为 $k$ 。则 $a=k-1$ ， $b=k-2$ ， $c=k-3$ ， $d=k-4$ ，所以 $a+b+c+d=4k-10$ 。

因为 $a+b+c+d+5=k$ ，可得 $4k-10+5=k$ ，所以 $3k=5$ ， $k=\dfrac{5}{3}$ 。于是 $a+b+c+d=k-5$ $=\dfrac{5}{3}-5=-\dfrac{10}{3}$ ，这就是所求值。

所以正确答案是 B。

Let the common value be $k.$ Then $a=k-1,$ $b=k-2,$ $c=k-3,$ $d=k-4,$ so $a+b+c+d=4k-10.$

Since $a+b+c+d+5=k,$ we get $4k-10+5=k,$ so $3k=5$ and $k=\dfrac{5}{3}.$ Then $a+b+c+d=k-5$ $=\dfrac{5}{3}-5=-\dfrac{10}{3}.$

Thus, the correct answer is B.

17.

Sarah 将四盎司咖啡倒入一个八盎司杯中，又将四盎司奶油倒入另一个同样大小的杯子。她把第一杯中一半的咖啡倒入第二杯，充分搅拌后，再把第二杯中一半的液体倒回第一杯。现在第一杯中的液体有几分之几是奶油？

Sarah pours four ounces of coffee into an eight-ounce cup and four ounces of cream into a second cup of the same size. She then transfers half the coffee from the first cup to the second and, after stirring thoroughly, transfers half the liquid in the second cup back to the first. What fraction of the liquid in the first cup is now cream?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{1}{2}$

知识点：混合问题过程模拟

难度评级：1450

小提示：

每次转移后分别跟踪咖啡和奶油的盎司数。

Track ounces of coffee and cream after each transfer

大提示：

第二杯在第二次转移前已经充分混合。

The second cup is uniformly mixed before the second transfer

解答：

第一次转移 $2$ 盎司咖啡后，第 $1$ 杯有 $2$ 盎司咖啡，第 $2$ 杯有 $2$ 盎司咖啡和 $4$ 盎司奶油，共 $6$ 盎司。

从第 $2$ 杯倒回一半，即 $3$ 盎司，其中含 $1$ 盎司咖啡和 $2$ 盎司奶油，留下第 $1$ 杯有 $3$ 盎司咖啡和 $2$ 盎司奶油。奶油所占比例为 $\dfrac{2}{2+3}=\dfrac{2}{5}$ 。

所以正确答案是 D。

After transferring $2$ oz of coffee, cup $1$ has $2$ oz coffee and cup $2$ has $2$ oz coffee plus $4$ oz cream, a total of $6$ oz.

Transferring back half of cup $2$ (that is $3$ oz, consisting of $1$ oz coffee and $2$ oz cream) leaves cup $1$ with $3$ oz coffee and $2$ oz cream. The fraction that is cream is $\dfrac{2}{2+3}=\dfrac{2}{5}.$

Thus, the correct answer is D.

18.

用 $27$ 个标准骰子粘成一个 $3\times 3\times 3$ 的立方体。（标准骰子上任意一对相对面的点数之和为 $7$ 。）这个 $3\times 3\times 3$ 大立方体表面露出的所有点数之和最小可能是多少？

A $3\times 3\times 3$ cube is formed by gluing together $27$ standard cubical dice. (On a standard die, the sum of the numbers on any pair of opposite faces is $7.$ ) The smallest possible sum of all the numbers showing on the surface of the $3\times 3\times 3$ cube is

$60$

$72$

$84$

$90$

$96$

知识点：正方体最优化分类讨论

难度评级：1540

小提示：

将 $27$ 个骰子分为角上、棱上、面中心和内部骰子。

Classify the $27$ dice as corner, edge, face-center, and interior dice

大提示：

分别让每个骰子露出的面点数最小：角上露 $1+2+3$ ，棱上露 $1+2$ ，面中心露 $1$ 。

Minimize each die’s showing faces: corners show $1+2+3,$ edges show $1+2,$ face-centers show $1$

解答：

$8$ 个角上的骰子各露 $3$ 个面，最小和为 $1+2+3=6$ ，贡献 $8\cdot 6=48$ 。另外 $12$ 个棱上骰子各露 $2$ 个面，最小和为 $1+2=3$ ，贡献 $12\cdot 3=36$ 。

$6$ 个面中心骰子各露 $1$ 个面，最小是 $1$ ，贡献 $6$ ；内部骰子贡献 $0$ 。总和为 $48+36+6=90$ 。

所以正确答案是 D。

The $8$ corner dice show $3$ faces each, minimized at $1+2+3=6,$ contributing $8\cdot 6=48.$ The $12$ edge dice show $2$ faces, minimized at $1+2=3,$ contributing $12\cdot 3=36.$

The $6$ face-center dice show $1$ face, minimized at $1,$ contributing $6,$ and the hidden interior die contributes $0.$ The total is $48+36+6=90.$

Thus, the correct answer is D.

19.

Spot 的狗屋有一个正六边形底面，每边长一码。他被一根两码长的绳子拴在一个顶点上。Spot 在狗屋外能到达的区域面积是多少平方码？

Spot’s doghouse has a regular hexagonal base that measures one yard on each side. He is tethered to a vertex with a two-yard rope. What is the area, in square yards, of the region outside the doghouse that Spot can reach?

$\dfrac{2}{3}\pi$

$2\pi$

$\dfrac{5}{2}\pi$

$\dfrac{8}{3}\pi$

$3\pi$

知识点：扇形正多边形圆面积

难度评级：1600

小提示：

正六边形的内角为 $120^\circ$ ，所以在拴点处 Spot 可以扫过半径 $2$ 的 $240^\circ$ 扇形。

The interior angle of a regular hexagon is $120^\circ,$ so Spot sweeps $240^\circ$ at radius $2$

大提示：

绕过两个相邻顶点时，各剩 $1$ 码绳长，可以扫过 $60^\circ$ 扇形。

Around each adjacent vertex the leftover $1$ yard of rope sweeps a $60^\circ$ sector

解答：

在拴点处，狗屋挡住了 $120^\circ$ 的内角，剩下半径为 $2$ 的 $240^\circ$ 扇形，面积为 $\dfrac{240}{360}\pi(2)^2=\dfrac{8\pi}{3}$ 。

绕过两个相邻顶点时，各剩 $1$ 码绳长，每处扫过 $60^\circ$ 扇形，总面积为 $2\cdot\dfrac{60}{360}\pi(1)^2=\dfrac{\pi}{3}$ 。总面积为 $\dfrac{8\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}=3\pi$ 。

所以正确答案是 E。

At the tether vertex the hexagon blocks its $120^\circ$ interior angle, leaving a $240^\circ$ sector of radius $2:$ area $\dfrac{240}{360}\pi(2)^2=\dfrac{8\pi}{3}.$

Wrapping around each of the two adjacent vertices, $1$ yard of rope remains and sweeps a $60^\circ$ sector: $2\cdot\dfrac{60}{360}\pi(1)^2=\dfrac{\pi}{3}.$ The total is $\dfrac{8\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}=3\pi.$

Thus, the correct answer is E.

20.

点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 按此顺序位于线段 $\overline{AF}$ 上，将其分成五段，每段长 $1$ 。点 $G$ 不在直线 $AF$ 上。点 $H$ 位于 $\overline{GD}$ 上，点 $J$ 位于 $\overline{GF}$ 上。线段 $\overline{HC}$ 、 $\overline{JE}$ 和 $\overline{AG}$ 平行。求 $\frac{HC}{JE}$ 。

Points $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ and $F$ lie, in that order, on $\overline{AF},$ dividing it into five segments, each of length $1.$ Point $G$ is not on line $AF.$ Point $H$ lies on $\overline{GD},$ and point $J$ lies on $\overline{GF}.$ The line segments $\overline{HC},$ $\overline{JE},$ and $\overline{AG}$ are parallel. Find $\frac{HC}{JE}.$

$\dfrac{5}{4}$

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{5}{3}$

$2$

知识点：相似平行线

难度评级：1460

小提示：

$\triangle DHC\sim\triangle DGA$ ，可用 $AG$ 表示 $HC$ 。

$\triangle DHC\sim\triangle DGA$ gives $HC$ in terms of $AG$

大提示：

$\triangle FJE\sim\triangle FGA$ ，可用 $AG$ 表示 $JE$ 。

$\triangle FJE\sim\triangle FGA$ gives $JE$ in terms of $AG$

解答：

因为 $HC\parallel AG$ ，所以 $\triangle DHC\sim\triangle DGA$ ，于是 $\dfrac{HC}{AG}=\dfrac{DC}{DA}=\dfrac{1}{3}$ ，即 $HC=\dfrac{AG}{3}$ 。

因为 $JE\parallel AG$ ，所以 $\triangle FJE\sim\triangle FGA$ ，于是 $\dfrac{JE}{AG}=\dfrac{FE}{FA}=\dfrac{1}{5}$ ，即 $JE=\dfrac{AG}{5}$ 。

因此 $\dfrac{HC}{JE}=\dfrac{\frac{AG}{3}}{\frac{AG}{5}}=\dfrac{5}{3}$ 。

所以正确答案是 D。

Since $HC\parallel AG,$ $\triangle DHC\sim\triangle DGA,$ so $\dfrac{HC}{AG}=\dfrac{DC}{DA}=\dfrac{1}{3},$ giving $HC=\dfrac{AG}{3}.$

Since $JE\parallel AG,$ $\triangle FJE\sim\triangle FGA,$ so $\dfrac{JE}{AG}=\dfrac{FE}{FA}=\dfrac{1}{5},$ giving $JE=\dfrac{AG}{5}.$

Therefore $\dfrac{HC}{JE}=\dfrac{\frac{AG}{3}}{\frac{AG}{5}}=\dfrac{5}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

21.

一组八个整数的平均数、中位数、唯一众数和极差都等于 $8$ 。这组数中可能出现的最大整数是多少？

The mean, median, unique mode, and range of a collection of eight integers are all equal to $8.$ The largest integer that can be an element of this collection is

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

知识点：平均数中位数（数据）众数极端原理

难度评级：1660

小提示：

八个整数的和为 $64$ ，极差为 $8$ 会把最大值和最小值联系起来。

The eight integers sum to $64,$ and a range of $8$ ties the largest and smallest together

大提示：

检验较大的候选最大值，同时保持中位数和唯一众数都等于 $8$ 。

Test the largest candidate values while keeping both the median and unique mode equal to $8$

解答：

八个整数的和是 $8\cdot 8=64$ 。数列 $6$ 、 $6$ 、 $6$ 、 $8$ 、 $8$ 、 $8$ 、 $8$ 、 $14$ 的平均数、中位数、唯一众数和极差都等于 $8$ ，所以最大值 $14$ 可以达到。

若最大值至少为 $16$ ，极差条件会使最小值至少为 $8$ 。平均数为 $8$ 就会迫使八个整数全都等于 $8$ ，与极差条件矛盾。

若最大值为 $15$ ，极差 $8$ 会使最小值为 $7$ ，所以八个整数都至少为 $7$ 。其余七个数的和是 $64-15=49=7\cdot 7$ ，迫使它们全都等于 $7$ 。但这样中位数和众数会是 $7$ ，而不是 $8$ ，矛盾。

所以正确答案是 D。

The sum is $8\cdot 8=64.$ The collection $6,$ $6,$ $6,$ $8,$ $8,$ $8,$ $8,$ $14$ has mean, median, unique mode, and range all equal to $8,$ so $14$ is attainable.

If the largest were at least $16,$ the range condition would make the smallest at least $8.$ A mean of $8$ would then force all eight integers to equal $8,$ contradicting the range.

If the largest were $15,$ the range $8$ forces the smallest to be $7,$ so all eight integers are at least $7.$ The other seven then sum to $64-15=49=7\cdot 7,$ forcing every one of them to equal $7.$ But then the median and mode would be $7,$ not $8,$ a contradiction.

Thus, the correct answer is D.

22.

一组编号为 $1$ 到 $100$ 的瓷砖反复进行如下操作：移除所有编号为完全平方数的瓷砖，然后将剩余瓷砖从 $1$ 开始重新连续编号。需要进行多少次操作，才能把瓷砖数量减少到一？

A set of tiles numbered $1$ through $100$ is modified repeatedly by the following operation: remove all tiles numbered with a perfect square, and renumber the remaining tiles consecutively starting with $1.$ How many times must the operation be performed to reduce the number of tiles in the set to one?

$10$

$11$

$18$

$19$

$20$

知识点：完全平方数递推找规律

难度评级：1790

小提示：

从 $n^2$ 块瓷砖开始，移除完全平方数后剩 $n^2-n$ 块。

Removing the perfect squares from $n^2$ tiles leaves $n^2-n$ tiles

大提示：

两次操作会把 $n^2$ 块瓷砖减少到 $(n-1)^2$ 块。

Two operations take $n^2$ tiles down to $(n-1)^2$

解答：

从 $n^2$ 块瓷砖开始，一次操作会移除 $n$ 个完全平方编号，剩 $n^2-n$ 块。下一次操作会移除 $n-1$ 个完全平方编号，剩 $n^2-n-(n-1)=(n-1)^2$ 块。

因此每两次操作会把 $n^2$ 减到 $(n-1)^2$ 。从 $10^2=100$ 减到 $1^2=1$ ，需要 $2(10-1)=18$ 次操作。

所以正确答案是 C。

Starting from $n^2$ tiles, one operation removes the $n$ perfect squares, leaving $n^2-n.$ The next operation removes $n-1$ perfect squares, leaving $n^2-n-(n-1)=(n-1)^2.$

So every two operations reduce $n^2$ to $(n-1)^2.$ Going from $10^2=100$ down to $1^2=1$ takes $2(10-1)=18$ operations.

Thus, the correct answer is C.

23.

点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 按此顺序位于一条直线上，且 $AB=CD$ 、 $BC=12$ 。点 $E$ 不在这条直线上，并且 $BE=CE=10$ 。 $\triangle AED$ 的周长是 $\triangle BEC$ 周长的两倍。求 $AB$ 。

Points $A,$ $B,$ $C,$ and $D$ lie on a line, in that order, with $AB=CD$ and $BC=12.$ Point $E$ is not on the line, and $BE=CE=10.$ The perimeter of $\triangle AED$ is twice the perimeter of $\triangle BEC.$ Find $AB.$

$\dfrac{15}{2}$

$8$

$\dfrac{17}{2}$

$9$

$\dfrac{19}{2}$

知识点：等腰三角形勾股定理周长

难度评级：1660

小提示：

设 $M$ 是 $BC$ 的中点；则 $EM\perp AD$ ，且 $EM=8$ 。

Let $M$ be the midpoint of $BC;$ then $EM\perp AD$ and $EM=8$

大提示：

令 $AB=CD=x$ 、 $AE=ED=y$ ，使用周长条件和勾股定理。

With $AB=CD=x$ and $AE=ED=y,$ use the perimeter condition and the Pythagorean theorem

解答：

设 $M$ 是 $BC$ 的中点。因为 $BE=CE$ ，所以 $EM\perp BC$ ，且 $EM=\sqrt{10^2-6^2}=8$ 。由对称性 $AE=ED$ ；设 $AB=CD=x$ 、 $AE=ED=y$ 。

由周长条件， $2y+(2x+12)$ $=2(10+10+12)=64$ ，所以 $x+y=26$ 。勾股定理又给出 $y^2=EM^2+(x+6)^2$ $=64+(x+6)^2$ 。

代入 $y=26-x$ ，得到 $(26-x)^2=64+(x+6)^2$ ，即 $676-52x=100+12x$ ，所以 $64x=576$ ，从而 $x=9$ 。

所以正确答案是 D。

Let $M$ be the midpoint of $BC.$ Since $BE=CE,$ $EM\perp BC$ and $EM=\sqrt{10^2-6^2}=8.$ By symmetry $AE=ED;$ write $AB=CD=x$ and $AE=ED=y.$

The perimeter condition gives $2y+(2x+12)$ $=2(10+10+12)=64,$ so $x+y=26.$ Also $y^2=EM^2+(x+6)^2$ $=64+(x+6)^2.$

Substituting $y=26-x,$ $(26-x)^2=64+(x+6)^2,$ which simplifies to $676-52x=100+12x,$ so $64x=576$ and $x=9.$

Thus, the correct answer is D.

24.

Tina 从集合 $\{1,2,3,4,5\}$ 中随机选择两个不同的数，Sergio 从集合 $\{1,2,\ldots,10\}$ 中随机选择一个数。Sergio 选的数大于 Tina 所选两个数之和的概率是多少？

Tina randomly selects two distinct numbers from the set $\{1,2,3,4,5\},$ and Sergio randomly selects a number from the set $\{1,2,\ldots,10\}.$ The probability that Sergio’s number is larger than the sum of the two numbers chosen by Tina is

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{9}{20}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{11}{20}$

$\dfrac{24}{25}$

知识点：基本概率分类讨论

难度评级：1900

小提示：

列出 Tina 能得到的十个可能和，以及每个和出现的次数。

List the ten possible sums Tina can make and how often each occurs

大提示：

若和为 $s$ ，Sergio 的数大于它的概率为 $\dfrac{10-s}{10}$ 。

For a sum $s,$ Sergio’s number exceeds it with probability $\dfrac{10-s}{10}$

解答：

Tina 的 $10$ 个等可能数对给出的和为 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $5$ 、 $6$ 、 $6$ 、 $7$ 、 $7$ 、 $8$ 、 $9$ 。若和为 $s$ ，Sergio 的数大于它的概率是 $\dfrac{10-s}{10}$ 。

对十个数对取平均，成功概率为 $\small\dfrac{7+6+5+5+4+4+3+3+2+1}{100}$ $=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5}$ 。

所以正确答案是 A。

Tina’s $10$ equally likely pairs give sums $3,$ $4,$ $5,$ $5,$ $6,$ $6,$ $7,$ $7,$ $8,$ and $9.$ For a sum $s,$ Sergio’s number exceeds it with probability $\dfrac{10-s}{10}.$

Averaging the winning probability over the ten pairs, the total is $\small\dfrac{7+6+5+5+4+4+3+3+2+1}{100}$ $=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5}.$

Thus, the correct answer is A.

25.

在梯形 $ABCD$ 中，底边为 $\overline{AB}$ 和 $\overline{CD}$ ，且 $AB=52$ 、 $BC=12$ 、 $CD=39$ 、 $DA=5$ 。梯形 $ABCD$ 的面积是多少？

In trapezoid $ABCD$ with bases $\overline{AB}$ and $\overline{CD},$ we have $AB=52,$ $BC=12,$ $CD=39,$ and $DA=5.$ The area of $ABCD$ is

$182$

$195$

$210$

$234$

$260$

知识点：梯形相似勾股数

难度评级：1790

小提示：

延长 $DA$ 和 $CB$ ，使它们交于一点 $P$ 。

Extend the legs $DA$ and $CB$ until they meet at a point $P$

大提示：

$\triangle PDC\sim\triangle PAB$ ，相似比为 $\dfrac{39}{52}=\dfrac{3}{4}$ 。

$\triangle PDC\sim\triangle PAB$ with ratio $\dfrac{39}{52}=\dfrac{3}{4}$

解答：

延长 $DA$ 和 $CB$ ，交于 $P$ 。因为 $DC\parallel AB$ ，所以 $\triangle PDC\sim\triangle PAB$ ，相似比为 $\dfrac{39}{52}=\dfrac{3}{4}$ 。于是 $\dfrac{PD}{PD+5}=\dfrac{3}{4}$ ，得 $PD=15$ ，同理 $PC=36$ 。

于是 $PD:PC:DC=15:36:39$ $=3\cdot(5:12:13)$ ，所以 $\angle P$ 是直角。梯形 $ABCD$ 的面积为 $\begin{gathered} \dfrac{1}{2}(PA)(PB) \\ {}-\dfrac{1}{2}(PD)(PC) \\ = \dfrac{1}{2}(20)(48) \\ {}-\dfrac{1}{2}(15)(36) \\ = 480-270=210 \end{gathered}\text{。}$

所以正确答案是 C。

Extend $DA$ and $CB$ to meet at $P.$ Since $DC\parallel AB,$ $\triangle PDC\sim\triangle PAB$ with ratio $\dfrac{39}{52}=\dfrac{3}{4}.$ From $\dfrac{PD}{PD+5}=\dfrac{3}{4}$ we get $PD=15,$ and similarly $PC=36.$

Then $PD:PC:DC=15:36:39$ $=3\cdot(5:12:13),$ so $\angle P$ is a right angle. The area of $ABCD$ is $\begin{gathered} \dfrac{1}{2}(PA)(PB) \\ {}-\dfrac{1}{2}(PD)(PC) \\ = \dfrac{1}{2}(20)(48) \\ {}-\dfrac{1}{2}(15)(36) \\ = 480-270=210. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.