Question

三角形 $OAB$ 中， $O=(0,0)$ 、 $B=(5,0)$ ，且 $A$ 在第一象限。此外， $\angle ABO=90^\circ$ ， $\angle AOB=30^\circ$ 。若将 $\overline{OA}$ 绕 $O$ 逆时针旋转 $90^\circ$ ，点 $A$ 的像的坐标是什么？

Triangle $OAB$ has $O=(0,0),$ $B=(5,0),$ and $A$ in the first quadrant. In addition, $\angle ABO=90^\circ$ and $\angle AOB=30^\circ.$ Suppose that $\overline{OA}$ is rotated $90^\circ$ counterclockwise about $O.$ What are the coordinates of the image of $A?$

$\left(-\dfrac{10}{3}\sqrt{3},\,5\right)$

$\left(-\dfrac{5}{3}\sqrt{3},\,5\right)$

$\left(\sqrt{3},\,5\right)$

$\left(\dfrac{5}{3}\sqrt{3},\,5\right)$

$\left(\dfrac{10}{3}\sqrt{3},\,5\right)$

答案：B

知识点：坐标几何变换特殊直角三角形

难度评级：1370

小提示：

先求 $A$ ：因为直角在 $B$ ，所以 $AB=OB\tan 30^\circ$ 。

Find $A$ first: $AB=OB\tan 30^\circ$ since the right angle is at $B$

大提示：

绕原点逆时针旋转 $90^\circ$ 将 $(x,y)$ 变为 $(-y,x)$ 。

A $90^\circ$ counterclockwise rotation sends $(x,y)$ to $(-y,x)$

解答：

因为 $\angle ABO=90^\circ$ ，线段 $AB$ 竖直，所以 $A=\left(5,\,5\tan 30^\circ\right)=\left(5,\,\tfrac{5\sqrt3}{3}\right)$ 。

绕原点逆时针旋转 $90^\circ$ 将 $(x,y)$ 变为 $(-y,x)$ ，所以 $A$ 的像为 $\left(-\tfrac{5\sqrt3}{3},\,5\right)$ 。

所以正确答案是 B。

Because $\angle ABO=90^\circ,$ segment $AB$ is vertical, so $A=\left(5,\,5\tan 30^\circ\right)=\left(5,\,\tfrac{5\sqrt3}{3}\right).$

A $90^\circ$ counterclockwise rotation about the origin sends $(x,y)$ to $(-y,x),$ so the image of $A$ is $\left(-\tfrac{5\sqrt3}{3},\,5\right).$

Thus, the correct answer is B.

2008 AMC 10B 第 14 题

答案：B

难度评级：1370

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题