2008 AMC 10B 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

一名篮球运动员在一场比赛中投进了 $5$ 个球。每个进球值 $2$ 分或 $3$ 分。该运动员总得分可能有多少种不同的数值？

A basketball player made $5$ baskets during a game. Each basket was worth either $2$ or $3$ points. How many different numbers could represent the total points scored by the player?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

知识点：基本计数系统列举

难度评级：720

小提示：

如果有 $k$ 个进球值 $3$ 分，则总分为 $2(5-k)+3k$ 。

If $k$ baskets are worth $3$ points, the total is $2(5-k)+3k$

大提示：

当 $k$ 从 $0$ 到 $5$ 变化时，总分每次增加 $1$ 。

As $k$ runs from $0$ to $5$ , the total increases by $1$ each time

解答：

如果 $k$ 个进球值 $3$ 分，其余值 $2$ 分，总分为 $2(5-k)+3k=10+k$ 。

当 $k$ 取 $0,1,\ldots,5$ 时，总分取从 $10$ 到 $15$ 的每个整数，共 $6$ 种可能。

所以正确答案是 E。

If $k$ of the baskets are worth $3$ points and the rest worth $2,$ the total is $2(5-k)+3k=10+k.$

As $k$ ranges over $0,1,\ldots,5,$ the total takes every integer value from $10$ to $15,$ giving $6$ possibilities.

Thus, the correct answer is E.

2.

如图所示，一个 $4 \times 4$ 的日历日期方块。先将第二行数字的顺序反过来。然后将第四行数字的顺序反过来。最后，把两条对角线上的数字分别相加。两个对角线和的正差是多少？

A $4 \times 4$ block of calendar dates is shown. The order of the numbers in the second row is to be reversed. Then the order of the numbers in the fourth row is to be reversed. Finally, the numbers on each diagonal are to be added. What will be the positive difference between the two diagonal sums?

$2$

$4$

$6$

$8$

$10$

知识点：日期与时间过程模拟

难度评级：880

小提示：

将第 $2$ 行和第 $4$ 行反向后，写出新的方格。

After reversing rows $2$ and $4,$ write out the new grid

大提示：

主对角线为 $1,10,17,22$ ，另一条对角线为 $4,9,16,25$ 。

The main diagonal reads $1,10,17,22$ and the other reads $4,9,16,25$

解答：

将第二行反为 $11,10,9,8$ ，第四行反为 $25,24,23,22$ 后，两条对角线分别为 $1,10,17,22$ 和 $4,9,16,25$ 。

它们的和为 $1+10+17+22=50$ 和 $4+9+16+25=54$ ，正差为 $54-50=4$ 。

所以正确答案是 B。

After reversing the second row to $11,10,9,8$ and the fourth row to $25,24,23,22,$ the two diagonals are $1,10,17,22$ and $4,9,16,25.$

Their sums are $1+10+17+22=50$ and $4+9+16+25=54,$ so the positive difference is $54-50=4.$

Thus, the correct answer is B.

3.

假设 $x$ 是正实数。下列哪一项等价于 $\sqrt[3]{x\sqrt{x}}\,\text{？}$

Assume that $x$ is a positive real number. Which is equivalent to $\sqrt[3]{x\sqrt{x}}\,?$

$x^{\frac{1}{6}}$

$x^{\frac{1}{4}}$

$x^{\frac{3}{8}}$

$x^{\frac{1}{2}}$

$x$

知识点：指数根式

难度评级：940

小提示：

写成 $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ 。

Write $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

大提示：

此时 $x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}$ ，取立方根会把指数除以 $3$ 。

Then $x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}},$ and the cube root divides the exponent by $3$

解答：

因为 $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ ，所以 $x\sqrt{x}=x^{1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{2}}$ 。

取立方根相当于指数乘以 $\tfrac13$ ，得到 $\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{1}{2}}$ 。

所以正确答案是 D。

Since $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}},$ we have $x\sqrt{x}=x^{1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{2}}.$

Taking the cube root multiplies the exponent by $\tfrac13,$ giving $\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{1}{2}}.$

Thus, the correct answer is D.

4.

一个半职业棒球联盟中每队有 $21$ 名球员。联盟规则规定，每名球员工资至少为 $\$15{,}000$ ，并且每队所有球员工资总和不能超过 $\$700{,}000$ 。单名球员最高可能工资是多少美元？

A semipro baseball league has teams with $21$ players each. League rules state that a player must be paid at least $\$15{,}000,$ and that the total of all players’ salaries for each team cannot exceed $\$700{,}000.$ What is the maximum possible salary, in dollars, for a single player?

$270{,}000$

$385{,}000$

$400{,}000$

$430{,}000$

$700{,}000$

知识点：不等式最优化极端原理

难度评级：840

小提示：

要让一个人工资最大，就让其他人都拿允许的最低工资。

To maximize one salary, pay everyone else as little as allowed

大提示：

其他 $20$ 名球员每人拿 $\$15{,}000$ 。

The other $20$ players each earn $\$15{,}000$

解答：

当其他 $20$ 名球员各拿最低工资 $\$15{,}000$ 时，某一名球员工资最大。

剩下给这名球员的是 $\$700{,}000-20\cdot\$15{,}000$ $=\$700{,}000-\$300{,}000$ $=\$400{,}000$ 。

所以正确答案是 C。

One player’s salary is largest when the other $20$ players each earn the minimum $\$15{,}000.$

That leaves $\$700{,}000-20\cdot\$15{,}000$ $=\$700{,}000-\$300{,}000$ $=\$400{,}000$ for the single player.

Thus, the correct answer is C.

5.

对实数 $a$ 和 $b$ ，定义 $a\,\$\,b=(a-b)^2$ 。那么 $(x-y)^2\,\$\,(y-x)^2$ 是多少？

For real numbers $a$ and $b,$ define $a\,\$\,b=(a-b)^2.$ What is $(x-y)^2\,\$\,(y-x)^2?$

$0$

$x^2+y^2$

$2x^2$

$2y^2$

$4xy$

知识点：自定义运算对称性（代数）

难度评级：880

小提示：

比较 $(x-y)^2$ 和 $(y-x)^2$ 。

Compare $(x-y)^2$ and $(y-x)^2$

大提示：

确认两个输入相等后，应用 $a\,\$\,b$ 的定义。

Once you know the two inputs agree, apply the definition of $a\,\$\,b$

解答：

因为 $(y-x)^2=(x-y)^2$ ，两个输入完全相同。

因此 $(x-y)^2\,\$\,(y-x)^2$ $=\left((x-y)^2-(x-y)^2\right)^2$ $=0^2=0$ 。

所以正确答案是 A。

Since $(y-x)^2=(x-y)^2,$ the two inputs are identical.

Therefore $(x-y)^2\,\$\,(y-x)^2$ $=\left((x-y)^2-(x-y)^2\right)^2$ $=0^2=0.$

Thus, the correct answer is A.

6.

点 $B$ 和 $C$ 在 $\overline{AD}$ 上。 $\overline{AB}$ 的长度是 $\overline{BD}$ 的 $4$ 倍， $\overline{AC}$ 的长度是 $\overline{CD}$ 的 $9$ 倍。 $\overline{BC}$ 的长度是 $\overline{AD}$ 长度的几分之几？

Points $B$ and $C$ lie on $\overline{AD}.$ The length of $\overline{AB}$ is $4$ times the length of $\overline{BD},$ and the length of $\overline{AC}$ is $9$ times the length of $\overline{CD}.$ The length of $\overline{BC}$ is what fraction of the length of $\overline{AD}?$

$\dfrac{1}{36}$

$\dfrac{1}{13}$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{5}{36}$

$\dfrac{1}{5}$

知识点：比与比例分数

难度评级：960

小提示：

由 $AB=4\,BD$ 和 $AB+BD=AD$ ，求 $BD$ 是 $AD$ 的几分之几。

From $AB=4\,BD$ and $AB+BD=AD,$ find $BD$ as a fraction of $AD$

大提示：

同理 $CD=\tfrac{1}{10}AD$ ，且 $BC=BD-CD$ 。

Similarly $CD=\tfrac{1}{10}AD,$ and $BC=BD-CD$

解答：

因为 $AB=4\,BD$ 且 $AB+BD=AD$ ，可得 $5\,BD=AD$ ，所以 $BD=\tfrac15 AD$ 。

因为 $AC=9\,CD$ 且 $AC+CD=AD$ ，可得 $10\,CD=AD$ ，所以 $CD=\tfrac{1}{10}AD$ 。

因此 $BC=BD-CD$ $=\tfrac15 AD-\tfrac{1}{10}AD$ $=\tfrac{1}{10}AD$ 。

所以正确答案是 C。

Since $AB=4\,BD$ and $AB+BD=AD,$ we get $5\,BD=AD,$ so $BD=\tfrac15 AD.$

Since $AC=9\,CD$ and $AC+CD=AD,$ we get $10\,CD=AD,$ so $CD=\tfrac{1}{10}AD.$

Then $BC=BD-CD$ $=\tfrac15 AD-\tfrac{1}{10}AD$ $=\tfrac{1}{10}AD.$

Thus, the correct answer is C.

7.

一个边长为 $10$ 的等边三角形完全由不重叠的边长为 $1$ 的等边三角形填满。需要多少个小三角形？

An equilateral triangle of side length $10$ is completely filled in by non-overlapping equilateral triangles of side length $1.$ How many small triangles are required?

$10$

$25$

$100$

$250$

$1000$

知识点：长度、面积与体积的缩放关系等边三角形

难度评级：880

小提示：

面积随边长的平方缩放。

Area scales with the square of the side length

大提示：

大三角形面积是小三角形面积的 $10^2$ 倍。

The big triangle has $10^2$ times the area of a small one

解答：

大三角形边长是小三角形的 $10$ 倍，所以面积是小三角形的 $10^2=100$ 倍。

因为小三角形无重叠地铺满它，正好需要 $100$ 个。

所以正确答案是 C。

The large triangle has side length $10$ times that of a small triangle, so its area is $10^2=100$ times as large.

Since the small triangles tile it without overlap, exactly $100$ of them are required.

Thus, the correct answer is C.

8.

一个班级筹集了 $\$50$ ，为住院同学买花。玫瑰每朵 $\$3$ ，康乃馨每朵 $\$2$ 。不使用其他花。恰好花完 $\$50$ 可以购买多少种不同的花束？

A class collects $\$50$ to buy flowers for a classmate who is in the hospital. Roses cost $\$3$ each, and carnations cost $\$2$ each. No other flowers are to be used. How many different bouquets could be purchased for exactly $\$50?$

$1$

$7$

$9$

$16$

$17$

知识点：丢番图方程奇偶性

难度评级：1080

小提示：

设玫瑰数量为 $r$ ，则 $3r+2c=50$ 。

Let $r$ be the number of roses; then $3r+2c=50$

大提示：

因为 $2c$ 和 $50$ 都是偶数， $r$ 必须是偶数，且 $3r\le 50$ 。

Since $2c$ is even and $50$ is even, $r$ must be even, and $3r\le 50$

解答：

若买 $r$ 朵玫瑰和 $c$ 朵康乃馨，则 $3r+2c=50$ 。因为 $2c$ 和 $50$ 都是偶数， $3r$ 必须是偶数，所以 $r$ 是偶数。

又 $3r\le 50$ ，所以 $r\le 16$ 。偶数值 $r=0,2,4,\ldots,16$ 各自给出一个有效的 $c$ ，共有 $9$ 种花束。

所以正确答案是 C。

If $r$ roses and $c$ carnations are bought, then $3r+2c=50.$ Because $2c$ and $50$ are even, $3r$ must be even, so $r$ is even.

Also $3r\le 50,$ so $r\le 16.$ The even values $r=0,2,4,\ldots,16$ each give a valid $c,$ which is $9$ bouquets.

Thus, the correct answer is C.

9.

二次方程 $ax^2-2ax+b=0$ 有两个实数解。这两个解的平均数是多少？

A quadratic equation $ax^2-2ax+b=0$ has two real solutions. What is the average of the solutions?

$1$

$2$

$\dfrac{b}{a}$

$\dfrac{2b}{a}$

$\sqrt{2a-b}$

知识点：韦达定理二次方程

难度评级：1040

小提示：

对 $Ax^2+Bx+C=0$ ，根的和为 $-\dfrac{B}{A}$ 。

For $Ax^2+Bx+C=0,$ the sum of the roots is $-\dfrac{B}{A}$

大提示：

平均数是根的和的一半。

The average is half the sum of the roots

解答：

由韦达定理，方程 $ax^2-2ax+b=0$ 的两根之和为 $\dfrac{-(-2a)}{a}=2$ 。

平均数是它的一半，即 $1$ 。

所以正确答案是 A。

By Vieta’s formulas, the sum of the roots of $ax^2-2ax+b=0$ is $\dfrac{-(-2a)}{a}=2.$

The average is half of this, namely $1.$

Thus, the correct answer is A.

10.

点 $A$ 和 $B$ 在半径为 $5$ 的圆上，且 $AB=6$ 。点 $C$ 是小弧 $AB$ 的中点。线段 $AC$ 的长度是多少？

Points $A$ and $B$ are on a circle of radius $5$ and $AB=6.$ Point $C$ is the midpoint of the minor arc $AB.$ What is the length of the line segment $AC?$

$\sqrt{10}$

$\dfrac{7}{2}$

$\sqrt{14}$

$\sqrt{15}$

$4$

知识点：弦勾股定理圆

难度评级：1170

小提示：

从圆心经过 $C$ 的直线垂直平分弦 $AB$ 。

The line from the center through $C$ perpendicularly bisects chord $AB$

大提示：

先求圆心到弦的距离，再从 $5$ 中减去它，得到到 $C$ 的距离，然后使用一条直角边为 $3$ 的直角三角形。

Find the center-to-chord distance, subtract from $5$ to reach $C,$ then use the right triangle with leg $3$

解答：

设 $O$ 为圆心， $D$ 为 $AB$ 的中点。于是 $OD\perp AB$ ，且 $AD=3$ ，所以 $OD=\sqrt{5^2-3^2}=4$ 。

因为 $C$ 是小弧中点，所以 $O$ 、 $D$ 、 $C$ 共线，且 $DC=OC-OD=5-4=1$ 。

因此 $AC=\sqrt{AD^2+DC^2}$ $=\sqrt{3^2+1^2}$ $=\sqrt{10}$ 。

所以正确答案是 A。

Let $O$ be the center and $D$ the midpoint of $AB.$ Then $OD\perp AB$ with $AD=3,$ so $OD=\sqrt{5^2-3^2}=4.$

Since $C$ is the midpoint of the minor arc, $O,$ $D,$ $C$ are collinear and $DC=OC-OD=5-4=1.$

Then $AC=\sqrt{AD^2+DC^2}$ $=\sqrt{3^2+1^2}$ $=\sqrt{10}.$

Thus, the correct answer is A.

11.

假设实数数列 $(u_n)$ 满足 $u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n$ ，且 $u_3=9$ 、 $u_6=128$ 。求 $u_5$ 的值。

Suppose that $(u_n)$ is a sequence of real numbers satisfying $u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n,$ and that $u_3=9$ and $u_6=128.$ What is $u_5?$

$40$

$53$

$68$

$88$

$104$

知识点：递推方程组

难度评级：1140

小提示：

用 $u_4$ 和 $u_3$ 表示 $u_5$ 与 $u_6$ 。

Write $u_5$ and $u_6$ in terms of $u_4$ and $u_3$

大提示：

$u_5=2u_4+9$ ，且 $u_6=2u_5+u_4$ ，所以 $128=5u_4+18$ 。

$u_5=2u_4+9$ and $u_6=2u_5+u_4,$ so $128=5u_4+18$

解答：

由递推式， $u_5=2u_4+u_3=2u_4+9$ ，且 $u_6=2u_5+u_4$ $=2(2u_4+9)+u_4$ $=5u_4+18$ 。

令 $5u_4+18=128$ ，得 $u_4=22$ ，所以 $u_5=2\cdot 22+9=53$ 。

所以正确答案是 B。

Using the recurrence, $u_5=2u_4+u_3=2u_4+9$ and $u_6=2u_5+u_4$ $=2(2u_4+9)+u_4$ $=5u_4+18.$

Setting $5u_4+18=128$ gives $u_4=22,$ so $u_5=2\cdot 22+9=53.$

Thus, the correct answer is B.

12.

邮差 Pete 有一个计步器来记录步数。计步器最多显示 $99999$ 步，下一步会翻转为 $00000$ 。Pete 计划计算自己一年的里程。一月 $1$ 日，Pete 将计步器设为 $00000$ 。一年中，计步器从 $99999$ 翻到 $00000$ 共四十四次。十二月 $31$ 日，计步器显示 $50000$ 。Pete 每英里走 $1800$ 步。以下哪一项最接近 Pete 这一年走的英里数？

Postman Pete has a pedometer to count his steps. The pedometer records up to $99999$ steps, then flips over to $00000$ on the next step. Pete plans to determine his mileage for a year. On January $1$ Pete sets the pedometer to $00000.$ During the year, the pedometer flips from $99999$ to $00000$ forty-four times. On December $31$ the pedometer reads $50000.$ Pete takes $1800$ steps per mile. Which of the following is closest to the number of miles Pete walked during the year?

$2500$

$3000$

$3500$

$4000$

$4500$

知识点：位值单位换算估算

难度评级：1070

小提示：

每次翻转代表 $100000$ 步。

Each flip represents $100000$ steps

大提示：

总步数为 $44\cdot 100000+50000$ ，再除以 $1800$ 。

Total steps are $44\cdot 100000+50000,$ then divide by $1800$

解答：

每次翻转计 $100000$ 步，所以 Pete 共走了 $44\cdot 100000+50000=4{,}450{,}000$ 步。

除以 $1800$ ，约为 $2472$ 英里，最接近 $2500$ 。

所以正确答案是 A。

Each flip counts $100000$ steps, so Pete took $44\cdot 100000+50000=4{,}450{,}000$ steps.

Dividing by $1800$ gives about $2472$ miles, which is closest to $2500.$

Thus, the correct answer is A.

13.

对每个正整数 $n$ ，某数列前 $n$ 项的平均数为 $n$ 。这个数列的第 $2008$ 项是多少？

For each positive integer $n,$ the mean of the first $n$ terms of a sequence is $n.$ What is the $2008$ th term of the sequence?

$2008$

$4015$

$4016$

$4{,}030{,}056$

$4{,}032{,}064$

知识点：平均数求和代数变形

难度评级：1170

小提示：

前 $n$ 项的和为 $n\cdot n=n^2$ 。

The sum of the first $n$ terms is $n\cdot n=n^2$

大提示：

第 $n$ 项为 $n^2-(n-1)^2$ 。

The $n$ th term is $n^2-(n-1)^2$

解答：

因为前 $n$ 项平均数为 $n$ ，所以这些项之和为 $n^2$ 。

第 $n$ 项为 $n^2-(n-1)^2=2n-1$ ，所以第 $2008$ 项为 $2\cdot 2008-1=4015$ 。

所以正确答案是 B。

Since the mean of the first $n$ terms is $n,$ their sum is $n^2.$

The $n$ th term is $n^2-(n-1)^2=2n-1,$ so the $2008$ th term is $2\cdot 2008-1=4015.$

Thus, the correct answer is B.

14.

三角形 $OAB$ 中， $O=(0,0)$ 、 $B=(5,0)$ ，且 $A$ 在第一象限。此外， $\angle ABO=90^\circ$ ， $\angle AOB=30^\circ$ 。若将 $\overline{OA}$ 绕 $O$ 逆时针旋转 $90^\circ$ ，点 $A$ 的像的坐标是什么？

Triangle $OAB$ has $O=(0,0),$ $B=(5,0),$ and $A$ in the first quadrant. In addition, $\angle ABO=90^\circ$ and $\angle AOB=30^\circ.$ Suppose that $\overline{OA}$ is rotated $90^\circ$ counterclockwise about $O.$ What are the coordinates of the image of $A?$

$\left(-\dfrac{10}{3}\sqrt{3},\,5\right)$

$\left(-\dfrac{5}{3}\sqrt{3},\,5\right)$

$\left(\sqrt{3},\,5\right)$

$\left(\dfrac{5}{3}\sqrt{3},\,5\right)$

$\left(\dfrac{10}{3}\sqrt{3},\,5\right)$

知识点：坐标几何变换特殊直角三角形

难度评级：1370

小提示：

先求 $A$ ：因为直角在 $B$ ，所以 $AB=OB\tan 30^\circ$ 。

Find $A$ first: $AB=OB\tan 30^\circ$ since the right angle is at $B$

大提示：

绕原点逆时针旋转 $90^\circ$ 将 $(x,y)$ 变为 $(-y,x)$ 。

A $90^\circ$ counterclockwise rotation sends $(x,y)$ to $(-y,x)$

解答：

因为 $\angle ABO=90^\circ$ ，线段 $AB$ 竖直，所以 $A=\left(5,\,5\tan 30^\circ\right)=\left(5,\,\tfrac{5\sqrt3}{3}\right)$ 。

绕原点逆时针旋转 $90^\circ$ 将 $(x,y)$ 变为 $(-y,x)$ ，所以 $A$ 的像为 $\left(-\tfrac{5\sqrt3}{3},\,5\right)$ 。

所以正确答案是 B。

Because $\angle ABO=90^\circ,$ segment $AB$ is vertical, so $A=\left(5,\,5\tan 30^\circ\right)=\left(5,\,\tfrac{5\sqrt3}{3}\right).$

A $90^\circ$ counterclockwise rotation about the origin sends $(x,y)$ to $(-y,x),$ so the image of $A$ is $\left(-\tfrac{5\sqrt3}{3},\,5\right).$

Thus, the correct answer is B.

15.

有多少个直角三角形的两条直角边为整数 $a$ 和 $b$ ，斜边长为 $b+1$ ，且 $b\lt 100$ ？

How many right triangles have integer leg lengths $a$ and $b$ and a hypotenuse of length $b+1,$ where $b\lt 100?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

知识点：勾股数完全平方数

难度评级：1310

小提示：

建立 $a^2+b^2=(b+1)^2$ 并化简。

Set $a^2+b^2=(b+1)^2$ and simplify

大提示：

这给出 $a^2=2b+1$ ，所以 $a^2$ 是满足 $a^2\lt 201$ 的奇完全平方数。

This gives $a^2=2b+1,$ so $a^2$ is an odd perfect square with $a^2\lt 201$

解答：

由 $a^2+b^2=(b+1)^2$ 得 $a^2=2b+1$ ，所以 $a$ 是奇数，且 $a^2$ 是奇完全平方数。

因为 $b\lt 100$ ，需要 $a^2=2b+1\lt 201$ ，且当 $b\ge 4$ 时有 $a^2\ge 9$ 。奇平方数 $9,25,49,81,121,169$ 给出 $a=3,5,7,9,11,13$ ，共有 $6$ 个三角形。

所以正确答案是 A。

From $a^2+b^2=(b+1)^2$ we get $a^2=2b+1,$ so $a$ is odd and $a^2$ is an odd perfect square.

Since $b\lt 100,$ we need $a^2=2b+1\lt 201,$ and $a^2\ge 9$ for $b\ge 4.$ The odd squares $9,25,49,81,121,169$ give $a=3,5,7,9,11,13,$ which is $6$ triangles.

Thus, the correct answer is A.

16.

抛两枚公平硬币一次。每出现一个正面，就掷一个公平骰子。骰子点数之和为奇数的概率是多少？（注意，如果没有掷骰子，则和为 $0$ 。）

Two fair coins are to be tossed once. For each head that results, one fair die is to be rolled. What is the probability that the sum of the die rolls is odd? (Note that if no die is rolled, the sum is $0.$ )

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{43}{72}$

$\dfrac{5}{8}$

$\dfrac{2}{3}$

知识点：条件概率骰子（概率）奇偶性

难度评级：1490

小提示：

只要至少掷一个骰子，点数和为奇数的概率就是一半。

If at least one die is rolled, the sum is odd exactly half the time

大提示：

先排除不掷骰子的概率（两枚硬币都为反面），再取剩余情况的一半。

Subtract the probability of rolling no dice (both coins tails), then take half of the rest

解答：

只要至少掷一个骰子，由对称性，点数和为奇数的概率为 $\tfrac12$ 。

不掷骰子只在两枚硬币都为反面时发生，概率为 $\tfrac14$ ；此时点数和 $0$ 是偶数。因此所求概率为 $\left(1-\tfrac14\right)\cdot\tfrac12=\tfrac38$ 。

所以正确答案是 A。

Whenever at least one die is rolled, by symmetry the sum is odd with probability $\tfrac12.$

No die is rolled only when both coins are tails, with probability $\tfrac14;$ that sum $0$ is even. So the answer is $\left(1-\tfrac14\right)\cdot\tfrac12=\tfrac38.$

Thus, the correct answer is A.

17.

一项民意调查显示，所有选民中有 $70\%$ 认可市长的工作。调查员在三个不同场合各随机选择一名选民。恰好一次选择到认可市长工作的选民的概率是多少？

A poll shows that $70\%$ of all voters approve of the mayor’s work. On three separate occasions a pollster selects a voter at random. What is the probability that on exactly one of these three occasions the voter approves of the mayor’s work?

$0.063$

$0.189$

$0.233$

$0.333$

$0.441$

知识点：二项概率独立事件

难度评级：1240

小提示：

三次中恰好一次认可有 $3$ 种有序位置。

Exactly one approval can happen in $3$ ordered ways

大提示：

每种排列的概率为 $(0.7)(0.3)(0.3)$ 。

Each such arrangement has probability $(0.7)(0.3)(0.3)$

解答：

三次中恰好一次认可有 $\binom{3}{1}=3$ 种方式，每种概率为 $(0.7)(0.3)(0.3)=0.063$ 。

总概率为 $3\cdot 0.063=0.189$ 。

所以正确答案是 B。

Exactly one approval among three occasions arises in $\binom{3}{1}=3$ ways, each with probability $(0.7)(0.3)(0.3)=0.063.$

The total is $3\cdot 0.063=0.189.$

Thus, the correct answer is B.

18.

砌砖工 Brenda 单独建一个烟囱需要 $9$ 小时，砌砖工 Brandon 单独建需要 $10$ 小时。他们一起工作时聊天很多，合计产出每小时减少 $10$ 块砖。他们一起工作 $5$ 小时建完烟囱。这个烟囱有多少块砖？

Bricklayer Brenda would take $9$ hours to build a chimney alone, and bricklayer Brandon would take $10$ hours to build it alone. When they work together, they talk a lot, and their combined output is decreased by $10$ bricks per hour. Working together, they build the chimney in $5$ hours. How many bricks are in the chimney?

$500$

$900$

$950$

$1000$

$1900$

知识点：速率一次方程

难度评级：1370

小提示：

设砖块数为 $n$ ；他们单独工作的速度为 $\tfrac{n}{9}$ 和 $\tfrac{n}{10}$ 。

Let $n$ be the number of bricks; their solo rates are $\tfrac{n}{9}$ and $\tfrac{n}{10}$

大提示：

他们一起每小时砌 $\tfrac{n}{9}+\tfrac{n}{10}-10$ 块砖，工作 $5$ 小时合计为 $n$ 。

Together they lay $\tfrac{n}{9}+\tfrac{n}{10}-10$ bricks per hour for $5$ hours to total $n$

解答：

设砖块数为 $n$ 。Brenda 每小时砌 $\tfrac{n}{9}$ 块，Brandon 每小时砌 $\tfrac{n}{10}$ 块，所以一起每小时砌 $\tfrac{n}{9}+\tfrac{n}{10}-10$ 块。

他们工作 $5$ 小时共完成 $n$ 块： $5\left(\tfrac{n}{9}+\tfrac{n}{10}-10\right)=n\text{。}$ 解得 $\tfrac{5n}{9}+\tfrac{n}{2}-50=n$ ，所以 $n=900$ 。

所以正确答案是 B。

Let $n$ be the number of bricks. Brenda lays $\tfrac{n}{9}$ per hour and Brandon $\tfrac{n}{10},$ so together they lay $\tfrac{n}{9}+\tfrac{n}{10}-10$ per hour.

Over $5$ hours this equals $n:$ $5\left(\tfrac{n}{9}+\tfrac{n}{10}-10\right)=n.$ Solving, $\tfrac{5n}{9}+\tfrac{n}{2}-50=n,$ which gives $n=900.$

Thus, the correct answer is B.

19.

一个圆柱形水箱半径为 $4$ 英尺，高为 $9$ 英尺，横放在地上。水箱中水深为 $2$ 英尺。水的体积是多少立方英尺？

A cylindrical tank with radius $4$ feet and height $9$ feet is lying on its side. The tank is filled with water to a depth of $2$ feet. What is the volume of the water, in cubic feet?

$24\pi-36\sqrt{2}$

$24\pi-24\sqrt{3}$

$36\pi-36\sqrt{3}$

$36\pi-24\sqrt{2}$

$48\pi-36\sqrt{3}$

知识点：圆柱扇形体积

难度评级：1680

小提示：

水的横截面是由一条低于圆心 $2$ 英尺的弦切出的圆弓形。

The water cross-section is a circular segment cut by a chord $2$ feet below the center

大提示：

该面积等于一个 $120^\circ$ 扇形减去一个三角形；再乘以长度 $9$ 。

Its area is a $120^\circ$ sector minus a triangle; multiply by the length $9$

解答：

被水浸没的横截面是圆弓形。弦在圆心下方 $4-2=2$ 英尺，且 $\cos\theta=\tfrac{2}{4}=\tfrac12$ ，所以半角为 $60^\circ$ ，圆心角为 $120^\circ$ 。

扇形面积为 $\tfrac{120}{360}\pi(4)^2=\tfrac{16\pi}{3}$ ，两条半径形成的三角形面积为 $\tfrac12(4)^2\sin 120^\circ=4\sqrt3$ ，所以圆弓形面积为 $\tfrac{16\pi}{3}-4\sqrt3$ 。

乘以长度 $9$ ，体积为 $9\left(\tfrac{16\pi}{3}-4\sqrt3\right)=48\pi-36\sqrt3$ 。

所以正确答案是 E。

The submerged cross-section is a circular segment. The chord is $4-2=2$ feet below the center, and $\cos\theta=\tfrac{2}{4}=\tfrac12,$ so the half-angle is $60^\circ$ and the central angle is $120^\circ.$

The sector area is $\tfrac{120}{360}\pi(4)^2=\tfrac{16\pi}{3},$ and the triangle formed by the two radii has area $\tfrac12(4)^2\sin 120^\circ=4\sqrt3.$ The segment area is $\tfrac{16\pi}{3}-4\sqrt3.$

Multiplying by the length $9$ gives $9\left(\tfrac{16\pi}{3}-4\sqrt3\right)=48\pi-36\sqrt3.$

Thus, the correct answer is E.

20.

一个立方体骰子的面标有 $1$ ， $2$ ， $2$ ， $3$ ， $3$ 和 $4$ 。第二个立方体骰子的面标有 $1$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ， $6$ 和 $8$ 。掷两个骰子，两个朝上数字之和为 $5$ 、 $7$ 或 $9$ 的概率是多少？

The faces of a cubical die are marked with the numbers $1,$ $2,$ $2,$ $3,$ $3,$ and $4.$ The faces of a second cubical die are marked with the numbers $1,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ and $8.$ Both dice are thrown. What is the probability that the sum of the two top numbers will be $5,$ $7,$ or $9?$

$\dfrac{5}{18}$

$\dfrac{7}{18}$

$\dfrac{11}{18}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{8}{9}$

知识点：骰子（概率）系统列举

难度评级：1510

小提示：

共有 $6\times 6=36$ 个等可能结果；数出和为 $5,7$ 或 $9$ 的结果。

There are $6\times 6=36$ equally likely outcomes; count those summing to $5,7,$ or $9$

大提示：

注意第一个骰子上 $2$ 和 $3$ 各出现在两个面上。

Remember each $2$ and each $3$ on the first die appears on two faces

解答：

在 $36$ 个等可能结果中，和为 $5$ 的有 $(1,4),(2,3),(2,3),(4,1)$ ，共 $4$ 个。

和为 $7$ 的有 $(1,6),(2,5),(2,5)$ 、 $(3,4),(3,4),(4,3)$ ，共 $6$ 个；和为 $9$ 的有 $(1,8),(3,6),(3,6),(4,5)$ ，共 $4$ 个。

因此概率为 $\tfrac{4+6+4}{36}=\tfrac{14}{36}=\tfrac{7}{18}$ 。

所以正确答案是 B。

Of the $36$ equally likely outcomes, the pairs giving sum $5$ are $(1,4),(2,3),(2,3),(4,1),$ which is $4$ outcomes.

Sum $7$ comes from $(1,6),(2,5),(2,5),$ $(3,4),(3,4),(4,3),$ which is $6,$ and sum $9$ from $(1,8),(3,6),(3,6),(4,5),$ which is $4.$

The probability is $\tfrac{4+6+4}{36}=\tfrac{14}{36}=\tfrac{7}{18}.$

Thus, the correct answer is B.

21.

十把椅子均匀地围绕一张圆桌摆放，并按顺时针编号为 $1$ 到 $10$ 。五对夫妻要坐在这些椅子上，男女交替，并且没有人坐在自己配偶的旁边或正对面。共有多少种座位安排？

Ten chairs are evenly spaced around a round table and numbered clockwise from $1$ through $10.$ Five married couples are to sit in the chairs with men and women alternating, and no one is to sit either next to or directly across from his or her spouse. How many seating arrangements are possible?

$240$

$360$

$480$

$540$

$720$

知识点：环形排列有限制的排列分类讨论

难度评级：1870

小提示：

先安排女性；把她们放入交替座位中。

Seat the women first; count their arrangements in the alternating seats

大提示：

固定女性座位后，数男性避开自己配偶的坐法。

For a fixed seating of the women, count how many ways the men can avoid their spouses

解答：

先安排女性。第一位女性可坐任意 $10$ 把椅子，而男女必须交替，所以其余女性在剩下四个同类座位中有 $4!$ 种排法，共 $10\cdot 4!=240$ 种安排。

固定一位女性在椅子 $1$ 。她的配偶必须坐在椅子 $4$ 或椅子 $8$ ；每个选择都会一致地迫使其他男性的位置。因此每种女性安排恰有 $2$ 种有效男性安排。

总数为 $2\cdot 240=480$ 。

所以正确答案是 C。

Seat the women first. The first woman may take any of the $10$ chairs, and since seats alternate, the remaining women fill their four seats in $4!$ ways, giving $10\cdot 4!=240$ arrangements.

Fix a woman in chair $1.$ Her spouse must sit in chair $4$ or chair $8;$ each choice then forces the placement of every other man consistently. So each seating of the women yields exactly $2$ valid seatings of the men.

The total is $2\cdot 240=480.$

Thus, the correct answer is C.

22.

三颗红珠、两颗白珠和一颗蓝珠随机排成一行。相邻两颗珠子颜色都不同的概率是多少？

Three red beads, two white beads, and one blue bead are placed in a line in random order. What is the probability that no two neighboring beads are the same color?

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

知识点：基本概率多重集排列有限制的排列

难度评级：1680

小提示：

可区分的颜色排列共有 $\dfrac{6!}{3!\,2!}=60$ 种。

There are $\dfrac{6!}{3!\,2!}=60$ distinguishable orderings

大提示：

先放三颗红珠使它们不相邻，再安放白珠和蓝珠。

First place the three red beads so no two are adjacent, then fit the white and blue beads

解答：

可区分的排列共有 $\tfrac{6!}{3!\,2!}=60$ 种。三颗红珠必须占据不相邻的位置，可能的红珠位置为 $\{1,3,5\},\{2,4,6\},\{1,3,6\}$ 和 $\{1,4,6\}$ 。

对于 $\{1,3,5\}$ 和 $\{2,4,6\}$ ，剩余位置彼此不相邻，所以蓝珠可在 $3$ 个位置中任意选择，共 $3+3=6$ 种。对于 $\{1,3,6\}$ 和 $\{1,4,6\}$ ，剩余位置中有两个相邻，所以蓝珠必须隔开两颗白珠，共 $2+2=4$ 种。

有效排列共 $10$ 种，所以概率为 $\tfrac{10}{60}=\tfrac16$ 。

所以正确答案是 C。

There are $\tfrac{6!}{3!\,2!}=60$ distinguishable orderings. The three reds must occupy non-adjacent positions, and the possible red placements are $\{1,3,5\},\{2,4,6\},\{1,3,6\},$ and $\{1,4,6\}.$

For $\{1,3,5\}$ and $\{2,4,6\},$ the remaining seats are mutually non-adjacent, so the blue bead can go in any of the $3,$ giving $3+3=6.$ For $\{1,3,6\}$ and $\{1,4,6\},$ two remaining seats are adjacent, so the blue must separate the whites, giving $2+2=4.$

That is $10$ valid orderings, so the probability is $\tfrac{10}{60}=\tfrac16.$

Thus, the correct answer is C.

23.

一个矩形地板尺寸为 $a$ 英尺乘 $b$ 英尺，其中 $a$ 和 $b$ 是正整数且 $b\gt a$ 。一位艺术家在地板上画一个矩形，画出的矩形边与地板边平行。未涂色部分在画出的矩形周围形成宽 $1$ 英尺的边框，并占整个地板面积的一半。有多少个有序对 $(a,b)$ 满足条件？

A rectangular floor measures $a$ feet by $b$ feet, where $a$ and $b$ are positive integers with $b\gt a.$ An artist paints a rectangle on the floor with the sides of the rectangle parallel to the sides of the floor. The unpainted part of the floor forms a border of width $1$ foot around the painted rectangle and occupies half the area of the entire floor. How many possibilities are there for the ordered pair $(a,b)?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

知识点：西蒙最爱的因式分解技巧丢番图方程面积

难度评级：1580

小提示：

被涂色的矩形尺寸为 $(a-2)$ 乘 $(b-2)$ ，面积是 $ab$ 的一半。

The painted rectangle measures $(a-2)$ by $(b-2),$ and its area is half of $ab$

大提示：

由 $ab=2(a-2)(b-2)$ ，整理为 $(a-4)(b-4)=8$ 。

From $ab=2(a-2)(b-2),$ rearrange to $(a-4)(b-4)=8$

解答：

被涂色矩形为 $(a-2)\times(b-2)$ ，且是地板面积的一半，所以 $ab=2(a-2)(b-2)$ 。

展开得 $0=ab-4a-4b+8$ ，两边加 $8$ 得 $(a-4)(b-4)=8$ 。

在 $b\gt a\gt 0$ 下，分解 $8=1\cdot 8=2\cdot 4$ ，得到 $(a,b)=(5,12)$ 和 $(6,8)$ ，所以共有 $2$ 种可能。

所以正确答案是 B。

The painted rectangle is $(a-2)\times(b-2),$ and it is half the floor, so $ab=2(a-2)(b-2).$

Expanding gives $0=ab-4a-4b+8,$ and adding $8$ yields $(a-4)(b-4)=8.$

With $b\gt a\gt 0,$ the factorizations $8=1\cdot 8=2\cdot 4$ give $(a,b)=(5,12)$ and $(6,8).$ So there are $2$ possibilities.

Thus, the correct answer is B.

24.

四边形 $ABCD$ 满足 $AB=BC=CD$ 、 $\angle ABC=70^\circ$ 、 $\angle BCD=170^\circ$ 。 $\angle BAD$ 的度数是多少？

Quadrilateral $ABCD$ has $AB=BC=CD,$ $\angle ABC=70^\circ,$ and $\angle BCD=170^\circ.$ What is the degree measure of $\angle BAD?$

$75$

$80$

$85$

$90$

$95$

知识点：导角等腰三角形等边三角形

难度评级：1860

小提示：

在 $BC$ 与 $A$ 同侧构造等边三角形 $BMC$ 。

Build an equilateral triangle $BMC$ on the same side of $BC$ as $A$

大提示：

证明 $\triangle ABM$ 和 $\triangle MCD$ 是等腰三角形，再证明 $M$ 在 $\overline{AD}$ 上。

Show $\triangle ABM$ and $\triangle MCD$ are isosceles, then prove $M$ lies on $\overline{AD}$

解答：

令 $M$ 为使 $\triangle BMC$ 为等边三角形的点，且与 $A$ 在 $BC$ 的同侧。于是 $\angle ABM=70^\circ-60^\circ=10^\circ$ ，且 $\angle MCD=170^\circ-60^\circ=110^\circ$ 。

因为 $AB=BM$ 且 $MC=CD$ ，三角形 $ABM$ 和 $MCD$ 是等腰三角形，所以 $\angle AMB=85^\circ$ ，且 $\angle CMD=35^\circ$ 。

于是 $\angle AMD=360^\circ-85^\circ-60^\circ$ $-35^\circ$ $=180^\circ$ ，所以 $M$ 在 $\overline{AD}$ 上，且 $\angle BAD=\angle BAM=85^\circ$ 。

所以正确答案是 C。

Let $M$ be the point with $\triangle BMC$ equilateral, on the same side of $BC$ as $A.$ Then $\angle ABM=70^\circ-60^\circ=10^\circ$ and $\angle MCD=170^\circ-60^\circ=110^\circ.$

Since $AB=BM$ and $MC=CD,$ triangles $ABM$ and $MCD$ are isosceles, giving $\angle AMB=85^\circ$ and $\angle CMD=35^\circ.$

Then $\angle AMD=360^\circ-85^\circ-60^\circ$ $-35^\circ$ $=180^\circ,$ so $M$ lies on $\overline{AD}$ and $\angle BAD=\angle BAM=85^\circ.$

Thus, the correct answer is C.

25.

Michael 在一条长直路上以每秒 $5$ 英尺的速度步行。路上每隔 $200$ 英尺有一个垃圾桶。一辆垃圾车以每秒 $10$ 英尺的速度沿同一方向行驶，并在每个垃圾桶处停 $30$ 秒。当 Michael 经过一个垃圾桶时，他注意到前方的垃圾车刚离开下一个垃圾桶。Michael 和垃圾车会相遇多少次？

Michael walks at the rate of $5$ feet per second on a long straight path. Trash pails are located every $200$ feet along the path. A garbage truck travels at $10$ feet per second in the same direction as Michael and stops for $30$ seconds at each pail. As Michael passes a pail, he notices the truck ahead of him just leaving the next pail. How many times will Michael and the truck meet?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

知识点：路程、速度与时间不等式过程模拟

难度评级：2090

小提示：

给垃圾桶编号，使 Michael 从 $0$ 号桶开始，垃圾车从 $1$ 号桶开始；追踪到达时间。

Number the pails so Michael starts at pail $0$ and the truck at pail $1;$ track arrival times

大提示：

Michael 在 $40n$ 秒到达 $n$ 号桶；垃圾车在 $50(n-1)$ 秒离开 $n$ 号桶。

Michael reaches pail $n$ at $40n$ seconds; the truck leaves pail $n$ at $50(n-1)$ seconds

解答：

给垃圾桶编号，使 Michael 在 $0$ 号桶，垃圾车在 $1$ 号桶。Michael 在 $n$ 号桶的到达时间为 $40n$ 秒；垃圾车在 $n$ 号桶的离开时间为 $50(n-1)$ 秒，到达时间为 $50(n-1)-30$ 秒。

Michael 和垃圾车在 $n$ 号桶相遇当且仅当 $50(n-1)-30\le 40n$ $\le 50(n-1)$ ，化简得 $5\le n\le 8$ 。

在 $5$ 号桶他们在垃圾车离开时相遇，在 $6$ 和 $7$ 号桶 Michael 经过停着的车，在 $8$ 号桶他们在垃圾车到达时相遇。此外，在 $6$ 号和 $7$ 号桶之间，垃圾车还必须超过 Michael 一次，所以总共相遇 $5$ 次。

所以正确答案是 B。

Number the pails so Michael is at pail $0$ and the truck at pail $1.$ Michael reaches pail $n$ at $40n$ seconds. The truck leaves pail $n$ at $50(n-1)$ seconds and arrives there at $50(n-1)-30$ seconds.

Michael and the truck are together at pail $n$ when $50(n-1)-30\le 40n$ $\le 50(n-1),$ which simplifies to $5\le n\le 8.$

At pail $5$ they meet as the truck departs, at pails $6$ and $7$ Michael passes it, and at pail $8$ they meet as the truck arrives. Between pails $6$ and $7$ the truck must overtake Michael once more, so in total they meet $5$ times.

Thus, the correct answer is B.