Question

长方形 $ABCD$ 中， $AB=3$ ， $BC=4$ 。点 $E$ 是从 $B$ 向对角线 $\overline{AC}$ 所作垂线的垂足。求 $\triangle ADE$ 的面积。

Rectangle $ABCD$ has $AB=3$ and $BC=4.$ Point $E$ is the foot of the perpendicular from $B$ to diagonal $\overline{AC}.$ What is the area of $\triangle ADE?$

$1$

$\dfrac{42}{25}$

$\dfrac{28}{15}$

$2$

$\dfrac{54}{25}$

答案：E

知识点：相似面积比直角三角形

难度评级：1600

小提示：

使用 $\triangle ABE$ 与 $\triangle ACB$ 的相似。

Use similarity between $\triangle ABE$ and $\triangle ACB$

大提示：

再利用 $\triangle EAD$ 与 $\triangle CDA$ 在 $AC$ 上的底边来比较它们。

Then compare $\triangle EAD$ to $\triangle CDA$ using their bases on $AC$

解答：

$\triangle CDA$ 的面积是 $\dfrac{3\cdot4}{2}=6$ 。因为 $E$ 在 $AC$ 上，三角形 $EAD$ 和 $CDA$ 共用从 $D$ 作出的同一条高，所以 $[EAD]=[CDA]\cdot \dfrac{AE}{AC}$ 。

由勾股定理， $AC=5$ 。又由 $\triangle ABE\sim \triangle ACB$ ， $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac35$ ，所以 $AE=\dfrac95$ ， $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{9}{25}$ 。

因此 $[EAD]=6\cdot \dfrac{9}{25}=\dfrac{54}{25}$ 。所以正确答案是 E。

The area of $\triangle CDA$ is $\dfrac{3\cdot4}{2}=6$ . Since $E$ lies on $AC$ , triangles $EAD$ and $CDA$ share the same altitude from $D$ , so $[EAD]=[CDA]\cdot \dfrac{AE}{AC}$ .

By the Pythagorean Theorem, $AC=5$ . Also $\triangle ABE\sim \triangle ACB$ , so $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac35$ , giving $AE=\dfrac95$ . Thus $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{9}{25}$ .

Therefore $[EAD]=6\cdot \dfrac{9}{25}=\dfrac{54}{25}$ . Thus, E is the correct answer.

2017 AMC 10B 第 15 题

答案：E

难度评级：1600

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题