Question

考虑所有分数 $\dfrac{x}{y}$ ，其中 $x$ 和 $y$ 是互质的正整数。有多少个这样的分数满足：若分子和分母都增加 $1$ ，分数值增加 $10\%$ ？

Consider the set of all fractions $\dfrac{x}{y},$ where $x$ and $y$ are relatively prime positive integers. How many of these fractions have the property that if both numerator and denominator are increased by $1,$ the value of the fraction is increased by $10\%?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$\text{无穷多个}$

$\text{infinitely many}$

答案：B

知识点：丢番图方程西蒙最爱的因式分解技巧分数

难度评级：1860

小提示：

把分数条件转化为一个因式分解。

Turn the fraction condition into a factorization

大提示：

只有满足 $y+11>11$ 的负因数对可能有效。

Only negative factor pairs with $y+11>11$ can work

解答：

条件为 $\frac{x+1}{y+1}=\frac{11}{10}\cdot\frac{x}{y}\text{。}$ 交叉相乘得 $10y(x+1)=11x(y+1)$ ，即 $xy+11x-10y=0$ 。

从两边减去 $110$ 并因式分解，得 $(x-10)(y+11)=-110\text{。}$ 因为 $x,y$ 是正整数，可用的负因数对为 $(-1,110)$ 、 $(-2,55)$ 和 $(-5,22)$ ，分别给出 $(x,y)=(9,99),(8,44),(5,11)$ 。

其中只有 $\frac{5}{11}$ 的分子分母互质，所以恰好有一个分数满足条件。

所以正确答案是 B。

The condition is $\frac{x+1}{y+1}=\frac{11}{10}\cdot\frac{x}{y}.$ Cross-multiplying gives $10y(x+1)=11x(y+1)$ , or $xy+11x-10y=0$ .

Factoring by grouping after subtracting $110$ gives $(x-10)(y+11)=-110.$ Since $x,y$ are positive, the useful negative factor pairs are $(-1,110)$ , $(-2,55)$ , and $(-5,22)$ , producing $(x,y)=(9,99),(8,44),(5,11)$ .

Only $\frac{5}{11}$ has relatively prime numerator and denominator, so exactly one fraction works.

Thus, B is the correct answer.

2015 AMC 10A 第 15 题

答案：B

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

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