Question

在正方形 $ABCD$ 中，点 $P$ 和 $Q$ 分别位于 $\overline{AD}$ 和 $\overline{AB}$ 上。线段 $\overline{BP}$ 与 $\overline{CQ}$ 在点 $R$ 处垂直相交，且 $BR = 6$ 、 $PR = 7$ 。求正方形的面积。

In square $ABCD,$ points $P$ and $Q$ lie on $\overline{AD}$ and $\overline{AB},$ respectively. Segments $\overline{BP}$ and $\overline{CQ}$ intersect at right angles at $R,$ with $BR = 6$ and $PR = 7.$ What is the area of the square?

$85$

$93$

$100$

$117$

$125$

答案：D

知识点：正方形（几何）全等（几何）相似勾股定理

难度评级：1950

小提示：

由 $6,7,13$ 三角形可知 $BP=13$ 。

$BP=13$ by the $6,7,13$ triangle

大提示：

在直角三角形 $BQC$ 中使用高定理。

Use the altitude theorem in right triangle $BQC$

解答：

因为 $BR=6$ 、 $PR=7$ ，所以 $BP=13$ 。由正方形中的对应直角三角形可得 $\triangle PAB\cong\triangle QBC$ ，于是 $CQ=BP=13$ 。

因为 $BP\perp CQ$ ，点 $R$ 是从 $B$ 向直角三角形 $BQC$ 的斜边 $CQ$ 所作高的垂足。因此 $QR\cdot RC=BR^2=36$ 且 $QR+RC=CQ=13\text{。}$

于是 $QR$ 与 $RC$ 是 $4$ 和 $9$ 。因为 $P$ 在 $\overline{AD}$ 上，所以 $AP\le AB$ 。由全等可得 $BQ=AP$ ，而直角三角形的射影定理给出 $BQ^2=CQ\cdot QR$ 和 $BC^2=CQ\cdot RC$ 。因此 $QR\le RC$ ，从而 $QR=4$ ， $RC=9$ 。于是 $\begin{aligned} BC^2&=BR^2+RC^2\\ &=6^2+9^2\\ &=117 \end{aligned}\text{。}$

正方形面积为 $117$ 。

所以正确答案是 D。

Since $BR=6$ and $PR=7,$ we have $BP=13.$ The right-angle and square-angle chasing gives $\triangle PAB\cong\triangle QBC,$ so $CQ=BP=13.$

Because $BP\perp CQ,$ point $R$ is the foot of the altitude from $B$ to the hypotenuse $CQ$ of right triangle $BQC.$ Thus $QR\cdot RC=BR^2=36$ and $QR+RC=CQ=13.$

So $QR$ and $RC$ are $4$ and $9.$ Because $P$ lies on $\overline{AD},$ we have $AP\le AB.$ Congruence gives $BQ=AP,$ while the right-triangle projection formulas give $BQ^2=CQ\cdot QR$ and $BC^2=CQ\cdot RC.$ Hence $QR\le RC,$ so $QR=4$ and $RC=9.$ Therefore, $\begin{aligned} BC^2&=BR^2+RC^2\\ &=6^2+9^2\\ &=117. \end{aligned}$

The area of the square is $117.$

Thus, the answer is D .

2021 AMC 10B Fall 第 15 题

答案：D

难度评级：1950

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题