Question

使 $m \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! \cdots 16!$ 成为完全平方数的最小正整数 $m$ 是多少？

What is the least positive integer $m$ such that $m \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! \cdots 16!$ is a perfect square?

$30$

$30030$

$70$

$1430$

$1001$

答案：C

知识点：完全平方数质因数分解阶乘配对与分组

难度评级：1730

小提示：

成对组合阶乘： $(2k)! \cdot (2k+1)!$ $= \bigl((2k)!\bigr)^2 (2k+1)$ ，是平方数乘以一个奇数。

Pair the factorials: $(2k)! \cdot (2k+1)!$ $= \bigl((2k)!\bigr)^2 (2k+1),$ a square times an odd number

大提示：

剩下的奇数因子和 $16!$ 决定哪些质数出现奇数次。

The leftover odd factors and $16!$ determine which primes appear to an odd power

解答：

将乘积分组为 $(2!\,3!)(4!\,5!)\cdots(14!\,15!)\cdot 16!$ 。因为 $(2k)!(2k+1)!$ $= \bigl((2k)!\bigr)^2(2k+1)$ ，每一对都是平方数乘以一个奇数。这些奇数 $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15$ 的乘积为 $3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$ ，平方自由部分为 $7 \cdot 11 \cdot 13$ 。同时 $16! = 2^{15} 3^6 5^3 7^2 \cdot 11 \cdot 13$ 的平方自由部分为 $2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13$ 。两者相乘后，整个乘积的平方自由部分为 $2 \cdot 5 \cdot 7$ 。因此最小的 $m$ 是 $2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$ 。所以正确答案是 C。

Group the product as $(2!\,3!)(4!\,5!)\cdots(14!\,15!)\cdot 16!.$ Since $(2k)!(2k+1)!$ $= \bigl((2k)!\bigr)^2(2k+1),$ each pair is a perfect square times an odd number. Those odd numbers $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15$ multiply to $3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13,$ with squarefree part $7 \cdot 11 \cdot 13.$ And $16! = 2^{15} 3^6 5^3 7^2 \cdot 11 \cdot 13$ has squarefree part $2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13.$ Multiply the two: the squarefree part of the whole thing is $2 \cdot 5 \cdot 7.$ That’s the smallest $m,$ namely $2 \cdot 5 \cdot 7 = 70.$ Thus, C is the correct answer.

2023 AMC 10B 第 15 题

答案：C

难度评级：1730

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题