Question

在长方形 $ABCD$ 中， $DC = 2 \cdot CB$ ，点 $E$ 和 $F$ 在 $\overline{AB}$ 上，使得 $\overline{ED}$ 和 $\overline{FD}$ 如图三等分 $\angle ADC$ 。求 $\triangle DEF$ 的面积与长方形 $ABCD$ 面积之比。

In rectangle $ABCD,$ $DC = 2 \cdot CB$ and points $E$ and $F$ lie on $\overline{AB}$ so that $\overline{ED}$ and $\overline{FD}$ trisect $\angle ADC$ as shown. What is the ratio of the area of $\triangle DEF$ to the area of rectangle $ABCD?$

$\ \ \dfrac{\sqrt{3}}{6}$

$\ \dfrac{\sqrt{6}}{8}$

$\ \dfrac{3\sqrt{3}}{16}$

$\ \dfrac{1}{3}$

$\ \dfrac{\sqrt{2}}{4}$

答案：A

知识点：三角学面积比矩形

难度评级：1660

小提示：

使用从 $D$ 出发的 $30^\circ$ 和 $60^\circ$ 射线。

Use the $30^\circ$ and $60^\circ$ rays from $D$

大提示：

求出 $EF$ ，再比较三角形和长方形面积。

Find $EF$ , then compare triangle and rectangle areas

解答：

设 $AD=h$ 。因为 $DC=AB=2h$ ，所以长方形 $ABCD$ 的面积为 $2h^2$ 。

射线 $DE$ 和 $DF$ 与 $DC$ 的夹角分别为 $60^\circ$ 和 $30^\circ$ 。

因此 $AE=h\tan30^\circ=\dfrac{h}{\sqrt3}$ 且 $AF=h\tan60^\circ=h\sqrt3\text{。}$

于是 $\begin{aligned}EF&=AF-AE\\&=h\sqrt3-\dfrac{h}{\sqrt3}\\&=\dfrac{2h\sqrt3}{3}\end{aligned}\text{。}$ $\triangle DEF$ 的面积为 $\dfrac12\cdot EF\cdot h=\dfrac{h^2\sqrt3}{3}\text{。}$

所求面积比为 $\dfrac{\frac{h^2\sqrt3}{3}}{2h^2}=\dfrac{\sqrt3}{6}\text{。}$ 所以正确答案是 A。

Let $AD=h.$ Since $DC=AB=2h,$ the area of rectangle $ABCD$ is $2h^2.$

The rays $DE$ and $DF$ make angles of $60^\circ$ and $30^\circ,$ respectively, with $DC.$

Therefore, $AE=h\tan30^\circ=\dfrac{h}{\sqrt3}$ and $AF=h\tan60^\circ=h\sqrt3.$

Hence $\begin{aligned}EF&=AF-AE\\&=h\sqrt3-\dfrac{h}{\sqrt3}\\&=\dfrac{2h\sqrt3}{3}.\end{aligned}$ The area of $\triangle DEF$ is $\dfrac12\cdot EF\cdot h=\dfrac{h^2\sqrt3}{3}.$

The desired ratio is $\dfrac{\frac{h^2\sqrt3}{3}}{2h^2}=\dfrac{\sqrt3}{6}.$ Thus, the correct answer is A.

2014 AMC 10B 第 15 题

答案：A

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

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