Question

实数 $x$ 满足方程 $x+\frac{1}{x} = \sqrt{5}\text{。}$ 求 $x^{11}-7x^{7}+x^3$ 的值。

The real number $x$ satisfies the equation $x+\frac{1}{x} = \sqrt{5}.$ What is the value of $x^{11}-7x^{7}+x^3?$

$-1$

$0$

$1$

$2$

$\sqrt{5}$

答案：B

知识点：代数变形对称性（代数）

难度评级：1340

小提示：

将已知方程平方，求出 $x^2+x^{-2}$ 。

Square the given equation to find $x^2+x^{-2}$

大提示：

再平方一次，得到含有 $x^4+x^{-4}$ 的关系。

Square again to find a relation involving $x^4+x^{-4}$

视频讲解：

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文字解答：

由 $x+\frac{1}{x} = \sqrt{5}$ ，两边平方得 $x^2 + 2 + \frac 1{x^2} = 5$ $x^2 + \frac 1{x^2} = 3\text{。}$ 再平方一次，得 $x^4 + 2 + \frac 1{x^4} = 9$ $x^4 -7 + \frac 1{x^4} = 0\text{。}$ 两边乘以 $x^7$ ，得到 $x^{11}-7x^{7}+x^3=0\text{。}$

所以答案是 B。

Since $x+\frac{1}{x} = \sqrt{5},$ squaring yields $x^2 + 2 + \frac 1{x^2} = 5$ $x^2 + \frac 1{x^2} = 3.$ Squaring again yields $x^4 + 2 + \frac 1{x^4} = 9$ $x^4 -7 + \frac 1{x^4} = 0.$ Multiplying by $x^7$ yields $x^{11}-7x^{7}+x^3=0.$

Thus, the answer is B .

2021 AMC 10B Spring 第 15 题