Question

若 $y+4 = (x-2)^2\text{，}$ $x+4 = (y-2)^2\text{，}$ 且 $x \neq y$ ，求下式的值： $x^2+y^2$

If $y+4 = (x-2)^2,$ $x+4 = (y-2)^2,$ and $x \neq y,$ what is the value of $x^2+y^2$

$10$

$15$

$20$

$25$

$30$

答案：B

知识点：方程组对称性（代数）代数变形

难度评级：1420

小提示：

分别把两个方程相加和相减。

Add and subtract the two equations separately

大提示：

因为 $x\ne y$ ，可以把差方程除以 $x-y$ 。

Since $x\ne y$ , divide the difference equation by $x-y$

解答：

展开并相加两个方程，得到 $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 8$ $= x + y + 8\text{。}$ 整理得 $x^2 + y^2 = 5(x + y)\text{。}$ 两式相减，得到 $x^2 - y^2 - 4x + 4y = y - x\text{。}$ 再整理得 $x^2 - y^2 = 3(x - y)\text{。}$ 因为 $x \neq y$ ，两边可除以 $x - y$ ，得到 $x + y = 3$ $x^2 + y^2 = 15\text{。}$

所以正确答案是 B。

Adding the two equations gives us $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 8$ $= x + y + 8.$ We can rearrange this equation to get $x^2 + y^2 = 5(x + y).$ We can then subtract them to get $x^2 - y^2 - 4x + 4y = y - x.$ Once again rearranging, we can find $x^2 - y^2 = 3(x - y).$ We have that $x \neq y,$ which means that we can divide both sides by $x - y.$ This gives us $x + y = 3$ $x^2 + y^2 = 15.$

Thus, B is the correct answer.

2015 AMC 10A 第 16 题

答案：B

难度评级：1420

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题