Question

点 $A$ 和 $B$ 在圆心为 $O$ 的圆上，且 $\angle AOB = 60^\circ$ 。第二个圆内切于第一个圆，并且同时与 $OA$ 和 $OB$ 相切。小圆面积与大圆面积之比是多少？

Points $A$ and $B$ lie on a circle centered at $O,$ and $\angle AOB = 60^\circ.$ A second circle is internally tangent to the first and tangent to both $OA$ and $OB.$ What is the ratio of the area of the smaller circle to that of the larger circle?

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

答案：B

知识点：相切圆特殊直角三角形面积比

难度评级：1580

小提示：

小圆圆心在 $\angle AOB$ 的角平分线上。

The small circle’s center lies on the bisector of $\angle AOB$

大提示：

由 $30$ - $60$ - $90$ 三角形，小圆圆心到 $O$ 的距离为 $2r$ ，这个到 $O$ 的距离也等于 $R - r$ 。

The center is $2r$ from $O$ by a $30$ - $60$ - $90$ triangle, and also $R - r$ from $O$

解答：

设小圆和大圆半径分别为 $r$ 和 $R$ 。小圆圆心 $E$ 在 $\angle AOB$ 的角平分线上，所以 $OE$ 与 $OA$ 的夹角为 $30^\circ$ 。

从 $E$ 到 $OA$ 的垂线长为 $r$ ，在所得 $30$ - $60$ - $90$ 三角形中， $OE = 2r$ 。

又因为 $OE = R - r$ ，所以 $2r = R - r$ ，得到 $R = 3r$ ，面积比为 $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$ 。

所以正确答案是 B。

Let the radii be $r$ and $R.$ The small circle’s center $E$ lies on the bisector of $\angle AOB,$ so $OE$ makes a $30^\circ$ angle with $OA.$

The perpendicular from $E$ to $OA$ has length $r,$ and in the resulting $30$ - $60$ - $90$ triangle $OE = 2r.$

Since $OE = R - r,$ we get $2r = R - r,$ so $R = 3r$ and the area ratio is $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}.$

Thus, the correct answer is B.

2008 AMC 10A 第 16 题

答案：B

难度评级：1580

小提示：

大提示：

解答：

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