Question

一个等边三角形边长为 $6$ 。所有在三角形外部且到三角形某一点的距离不超过 $3$ 的点所组成的区域面积是多少？

An equilateral triangle has side length $6.$ What is the area of the region containing all points that are outside the triangle and not more than $3$ units from a point of the triangle?

$36 + 24\sqrt{3}$

$54 + 9\pi$

$54 + 18\sqrt{3} + 6\pi$

$\left(2\sqrt{3} + 3\right)^2 \pi$

$9\left(\sqrt{3} + 1\right)^2 \pi$

答案：B

知识点：面积分割扇形等边三角形

难度评级：1680

小提示：

这个区域由沿三条边的三个矩形和三个顶点处的扇形组成。

The region is three rectangles along the sides plus three sectors at the corners

大提示：

三个顶点处的扇形各为 $120^\circ$ ，合起来是一个半径为 $3$ 的整圆。

The three corner sectors are each $120^\circ,$ and together they make one full circle of radius $3$

解答：

沿三条边各有一个 $6 \times 3$ 的矩形，贡献面积 $3 \cdot 6 \cdot 3 = 54$ 。

每个顶点处有一个半径为 $3$ 、圆心角为 $120^\circ$ 的扇形；三个扇形合成一个整圆，面积为 $\pi \cdot 3^2 = 9\pi$ 。

总面积为 $54 + 9\pi$ 。

所以正确答案是 B。

Along each of the three sides is a $6 \times 3$ rectangle, contributing $3 \cdot 6 \cdot 3 = 54.$

At each vertex is a $120^\circ$ sector of radius $3;$ the three together form a full circle of area $\pi \cdot 3^2 = 9\pi.$

The total area is $54 + 9\pi.$

Thus, the correct answer is B.

2008 AMC 10A 第 17 题

答案：B

难度评级：1680

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题