Question

整数 $a$ 和 $b$ 互质，满足 $a > b > 0$ ，且 $\dfrac{a^3-b^3}{(a-b)^3} = \dfrac{73}{3}\text{。}$ 求 $a-b$ 。

Let $a$ and $b$ be relatively prime integers with $a > b > 0$ and $\dfrac{a^3-b^3}{(a-b)^3} = \dfrac{73}{3}.$ What is $a-b?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

答案：C

知识点：因式分解分式方程二次方程

难度评级：1670

小提示：

分解 $a^3-b^3$ 。

Factor $a^3-b^3$

大提示：

方程会化为关于 $\frac{a}{b}$ 的二次方程。

The equation becomes a quadratic in $\frac{a}{b}$

解答：

先因式分解 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\text{。}$ 消去这个因子后得到 $\dfrac{a^2 + ab + b^2}{a^2 - 2ab + b^2} = \dfrac{73}{3}\text{。}$

交叉相乘并整理，得到 $70a^2 - 149ab + 70b^2 = 0\text{。}$ 因为 $b \neq 0$ ，可同除以 $b^2$ ，得到 $70\left(\dfrac{a}{b}\right)^2 - 149\dfrac{a}{b} + 70 = 0\text{。}$

用二次公式，并注意 $a \gt b$ ，可得 $\dfrac{a}{b} = \dfrac{10}{7}$ 。

由于 $a$ 和 $b$ 互质，所以 $a = 10$ ， $b = 7$ ，差为 $10 - 7 = 3$ 。

所以正确答案是 C。

Recall that we can factor $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).$ Canceling out this factor gives us that $\dfrac{a^2 + ab + b^2}{a^2 - 2ab + b^2} = \dfrac{73}{3}.$

Cross-multiplying and rearranging gives us $70a^2 - 149ab + 70b^2 = 0.$ Since $b \neq 0,$ we can divide through by $b^2$ to get $70\left(\dfrac{a}{b}\right)^2 - 149\dfrac{a}{b} + 70 = 0.$

Applying the quadratic formula and noting that $a \gt b$ gives us that $\dfrac{a}{b} = \dfrac{10}{7}.$

Since $a$ and $b$ are relatively prime, we have that $a = 10$ and $b = 7.$ Their difference is $10 - 7 = 3.$

Thus, C is the correct answer.

2012 AMC 10A 第 17 题

答案：C

难度评级：1670

小提示：

大提示：

解答：

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